2 Логарифмическое дифференцирование
П.1 Пусть требуется найти производную y′ функции y = f(x) (*). Если f(x) есть выражение удобное для логарифмирования, то во многих случаях представляется целесообразным сначала прологарифмировать по основанию е обе части равенства (*) и затем только продифференцировать.
Производная от натурального логарифма функции у, то есть
(ln
y)′
= 
y′
называется логарифмической производной функции у. Дифференцирование основанное на предварительном нахождении логарифмической производной
(lny)′ и затем искомой производной y′, называется логарифмическим дифференцированием.
Пользуясь способом логарифмического дифференцирования найти производную указанных функций:
108.
y
= x
Решение: Логарифмируя обе части равенства будем иметь
ln
y = ln x + 
ln x2
- 
ln (x2+1)
=
=
ln x + 
ln (x2
+ 1)
или
ln
y = 
ln x - 
ln (x2
+ 1)
Дифференцируя обе части полученного равенства, будем иметь
y′
= 
- 
y′
= 
= 
Откуда
y′
= 
y
= 
.
Пользуясь способом логарифмического дифференцирования найти производные указанных функций:
109.
y = 
110. y = x3
111.
y = 
112. y = 
113.
y = 
114. y = 
115.
y = x6
(x3+1)10(x3+1)
116. y = ln 
117.
y
= 
118. y
= (x+
)6
П.2. Функция вида у = uv , где u и v – функции аргумента х называется сложно - показательной функцией. Способ логарифмического дифференци-рования позволяет найти производную функции вида у = uv.
Решение: Логарифмируя обе части равенства по аргументу х, получим
y′
= cos x ln (x+1)+sin x 
Откуда
y′
= y[cos x ln (x+1)+sin x 
]
или
y′=
(x+1)sin
x[cos
x ln (x+1)+sin x 
]
Найти y′, применяя метод логарифмического дифференцирования:
120.
y = (1+x2
121. y = xx
122. y = (cos x)sin x 123. y = (tg x)ctg x
124. y = (1-x2)arcos x 125. y = (arctg x)arcsin x
126.
y = (ctg x)x
127. y = (x2+3
128.
y = 
129. y = 
3 Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
3.1 Производная обратной функции
Дифференцируемая
функция y
= f(x)
с производной y
= f
′(x)
имеет однозначную непрерывную обратную
функцию x
= 
(y),
причем обратная функция тоже дифференцируема
и справедлива формула
x′y
=
3.2 Производная функции, заданной параметрически
Система
уравнений {
α<
t
< β
где
(t)
– дифференцируемые функции и 
≠ 0, определяет у в некоторой области,
как однозначную дифференцируемую
функцию от х
y
= 
(
-1(x)),
причем производная этой функции может быть найдена по формуле
y′x
= 
Найти производную x′y , если
130. y = x + ln x (x>0) 131. y = sh x
132. y = x+ex 133. y = th x
Найти производную функции, заданной параметрически
134.
135. 
136.
137. 
138.
139. 
140.
141. 