1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Здесь различают три ситуации при переводе чисел:

- перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием;

- перевод числа из системы с любым основанием в десятичную;

- перевод числа из системы с основанием q1 в систему с основанием q2.

?

?

Правила, используемые для перевода целых и дробных чисел различны.

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в систему с основанием q, число нужно последовательно делить на основание q до тех пор, пока не будет получена целая часть частного, равная 0, то есть будет получен остаток от деления, меньший q. Число в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном получению остатков, то есть старшей цифрой числа будет последний остаток.

При переводе числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо помнить, что шестнадцатеричные числа представляются символами 1, 2, ..., 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q число нужно последовательно умножать на основание q (причем умножению подвергаются только дробные части) до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность представления числа. Дробь в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. Если требуемая точность перевода q, то число указанных последовательных произведений (то есть цифр в представлении дроби) равно k+1. По (k+1)-ой цифре производится округление k-той цифры.

Пример : перевести число 95₁₀ в следующие системы счисления:

а) двоичную:

95	2
94	47	2
1	46	23	2
	1	22	11	2
		1	10	5	2
			1	4	2	2
				1	2	1	2
направление записи числа					0	0	0
						1
Ответ:9510 = 10111112

б) восьмеричную :

95	8
88	11	8
7	8	1	8
	3	0	0
		1
Ответ:9510 = 1378

в) шестнадцатеричную:

95	16
80	5	16
F	0	0
	5
Ответ:9510 = 5F16

Если на некотором шаге получения произведений дробная часть числа становится равной 0, то процесс преобразования на этом заканчивается, так как все остальные цифры в представление дроби будут равны 0.

Пример: перевести число 0.95 в следующие системы счисления, с точностью представления 2, 8, 16, соответственно:

а) двоичную СС: б) восьмеричную СС: в) шестнадцатеричную СС:

0	95			0	95		0	95
	2				8			16
1	90			7	60		F	20
	2				8			16
1	80			4	80		3	20
	2				8			16
1	60			6	40		3	20
	2
1	20
	2
0	40
	2
0	80
	2
1	60

Ответ: 0.95₁₀ = 0.111101₂ = 0.75₈ = 0.F3₁₆

При переводе неправильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q отдельно переводится целая и дробная части числа.

Пример: перевести число 123.58 в восьмеричную систему счисления.

123.58₁₀ =123₁₀ + 0.58₁₀ = 173₈ + 0.45₈ = 173.45₈

Для перевода числа из системы счисления с основанием q в десятичную пользуются формулой разложения в ряд (1). Выражение (1) справедливо как для целых, так и для дробных чисел.

Пример: представить числа: а)111011.011, б)154.31, в)А2В.3С в десятичной системе счисления.

111011.011₂ = 1*2⁵ +1*2⁴ +1*2³ +0*2² +1*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1 +1*2^-2 +1*2^-3 =

=32 +16+8+2+1+1/4+1/8=59.375₁₀

154.31₈ = 1*8² +5*8¹ +4*8⁰ +3*8^-1 +1*8^-2 = 64+ 40+ 4+ 3/8+ 1/64 =

=108.390625₁₀

А2В.3С₁₆ = А*16² +2*16¹ +В*16⁰ +3*16^-1 +С*16^-2 = 3840+32+11+3/16+12/256 = 3883.234375₁₀

При переводе чисел из системы счисления с основанием q1 в систему с основанием q2 выполняется промежуточное преобразование в десятичную систему.