Головные волны в скважине

Н

Рис.2. Механизм обра-зования головных волн

аряду с отраженной волной на стенке скважины образуется преломленная волна (рис. 2). Направления их волновых векторов связаны законом Снеллиуса, являющимся выражением принципа причинности, который в данном случае можно сформулировать как условие неразрывности фронтов отраженной и преломленной волн. На основе простых геометрических построений не трудно показать, что если это условие выполняется, . Угол для которого (соответственно ), называют первым критическим. При углах падения имеет место полное внутреннее отражение, в связи, с чем возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью продольной волны в породе. Учитывая механизм образова­ния, их, как и преломленные, обозначают . Очевидно, головная волна образуется, если .

П

Рис 3. Движение волны вдоль границы твёрдой и жидкой фаз.

оскольку скорость головной волны больше скорости продольной волны в жидкости, в скважине возникает вторичная продольная волна, обозначаемая . Механизм ее образования можно пояснить на основе принципа Гюйгенса — Фре­неля. Для этого каждую точку стенки скважины, например A, В, С, D (рис. 3), следует считать источником волны , воз­никающей в момент прохождения через эту точку фронта волны . В изотропной среде, коей является скважинная жидкость, такие парциальные продольные волны будут сферическими, так как они распространяются во все стороны со скоростью . Допустим, что фронт волны , движущейся со скоростью , находится в точке Е, а за t секунд до этого находился в точке А. Очевидно волна, излученная из А, к этому времени представ­ляет сферу радиусом (окружности 1 на рис. 3, а и б). Аналогично волны, излученные из точек В, С, D, представляют сферы 2, 3, 4. По принципу Гюйгенса парциальные волны гасят друг друга в результате интерференции всюду, за исключением их огибающей, которая образует в скважине коническую по­верхность (линия 5 на рис. 3, а). Эта волновая поверхность представляет фронт волны . Скорость движения волны в направлении, перпендикулярном фронту, — . в направлении оси скважины — . Скорость является, таким образом, ка­жущейся скоростью волны , вдоль оси z. Поскольку фронт перемещается под критическим углом к стенке скважины. Допустив, что скорость в породе меньше чем в жидкости, убеждаемся, что общая огибающая в этом случае не возникает и волна в жидкости не образуется (см. рис. 3, б).

Угол , для которого , называют вто­рым критическим. При углах также имеет место пол­ное внутреннее отражение, в связи, с чем в породе возникают головные волны, распространяющиеся вдоль границы твердой и жидкой фаз со скоростью поперечной волны в породе. Условие образования головной волны в данном случае . Эта волна также образует продольную волну в жидкости, обозначаемую . Ее конический фронт перемещается вдоль оси скважины со скоростью .

Поскольку в волне энергия перераспределяется между волнами одного типа — продольными — эту волну называют монотипной головной. Соответственно волну на­зывают обменной головной.

Головные волны и являются неоднородными: их амплитуды при уменьшаются с увеличением r. Уменьшение амплитуд тем интенсивнее, чем больше угол , при ко­тором возникла головная волна. Поэтому коэффициент передачи энергии в головную волну максимален вблизи . Условно можно считать, что в кольцевом зазоре «прибор — стенка скважины» волна образуется не во всех точках закритической области (), а дискретно в точках А, В, С и т. д. (см. рис. 2), расположенных, как нетрудно видеть, на расстоянии одна от другой. Интерференцией этих волн (их «пристраиванием» одна к другой) объясняется вид головной монотипной волны, регистрируемой в скважине. Действительно, форма головной волны должна, казалось бы, повторять форму излученного импульса, имеющего 1,5—2 периода. Однако ее реальная форма представляет собой цуг колебаний, число периодов в котором существенно больше.

Вследствие интерференции распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний отличается от ее распределения в спектре излученных колебаний. Подчеркиваются те частоты, для которых интерференция происходит в фазе, иными словами, для которых на участках ADB, ВЕС (см. рис. 2) укладывается целое число волн. Это явление называют конструктивной интер­ференцией. Поскольку отрезок АD для волны меньше соответствующего отрезка для волны , видимая частота обменной волны меньше, чем монотипной.

В общем случае видимая частота соответствует наименьшей частоте конструктивной интерференции. Определим ее.

Время распространения волны на участке АDВ равно . Время прохождения волной уча­стка АВ равно . Интерференция в фазе возникает, если разность этих времен кратна периоду. Отсюда, учитывая, что , получаем

Г

Рис. 4. Положение фронтов упругих волн в моменты времени и

де целое число, — частота волны, испытавшей кон­структивную интерференцию. Видимая частота волны соответствует .

Видимую частоту волны определяют аналогичным образом.

В реальных условиях диаметр скважины меняется, а прибор отклоняется от оси. Поэтому распределение энергии в спектре зарегистрированных колебаний, в известной степени, случайная величина и спектральный анализ сигналов с целью определения параметров по­род целесообразно проводить по начальной части волновой картины, которая не ослож­нена конструктивной интерференцией.

При распространении головных волн вдоль стенки скважины они затухают за счет расхождения и поглощения. На низких частотах расхождение монотипной волны пропорционально а обменной — , где — расстояние, пройденное в породе. Если оно учтено, затухание можно считать функцией только параметров среды.

Интерференция волн затрудняет, а иногда делает невозможной их идентификацию.

Рассмотрим в лучевом приближении положение фронтов пря­мых , отраженных и монотипных волн в сква­жине в моменты времени и (рис. 4).

Допустим в момент времени t = 0 излучен импульс упругих колебаний, а в момент головная волна впервые достигла оси z скважины в точке В, расположенной на расстоянии от источника излучения А. Одновременно с ней достиг точки В и фронт отраженной волны , который может быть построен с помощью мнимого источника А'. Прямая волна к этому моменту обгоняет фронт головной волны на величину отрезка ВС. Однако фронт волны движется вдоль оси z со скоростью большей, чем фронт волны . Поэтому к некоторому времени он обгоняет его на величину отрезка DЕ. Очевидно, что

.

Время прихода волны в точку В

.

Время прихода головной волны в точку, расположенную на расстоянии длины зонда от источника

(3.9)

Зависимость времени прихода волны от расстояния между излучателем и приемником называют годографом этой волны. Выражение (3.9)—уравнение годографа монотипной волны. Для прямой волны уравнение годографа имеет вид

. (3.10)

Сопоставление выражений (3.9) и (3.10) показывает, что при

(3.11)

монотипная волна обгоняет прямую.

Аналогично можно найти годограф обменной волны и опре­делить расстояние, при котором ее удастся зарегистрировать раньше, чем возникнет интерференция с прямой волной.

Таким образом, существует принципиальная возможность регистрации не осложненных интерференцией головных волн в скважине. Их параметры характеризуют упругие свойства среды за стенкой скважины.