Вычисление второй производной

Для приближенного вычисления второй производной в качестве примера используем формулу [1]

, (4)

где определяется по формуле (3).

Отметим, что значения правой и левой разностных производных в точке одновременно являются центральными разностными производными и , рассчитанными соответственно в точках и (см. рис. 1).

Рис 1. Схема численного дифференцирования

Тогда

. (5)

4.1.2. Численное интегрирование функций

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f(x)

. (6)

Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y= f(x), осью x и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 2).

Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек x_j[a,b], x_j=a+jh, j=0,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим f_j=f(x_j).

С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).

Рис. 2. Численное интегрирование

Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов

. (7)

Метод левых прямоугольников

Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней левой точке (рис. 3,а)

. (8)

. (9)

а

б

Рис. 3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней правой точке (рис. 3,б)

. (10)

. (11)

Метод средних прямоугольников

Для вычисления интеграла можно использовать значение функции в середине отрезка (рис. 4,а)

. (12)

. (13)

Метод трапеций

Теперь рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис. 4,б). Тогда интеграл приближенно равен ее площади

, (14)

(15)

а

б

Рис. 4. Методы средних прямоугольников (а) и трапеций (б)

4.2. Применение экстраполяции для оценки погрешности

Для тестовых примеров, имеющих аналитическое решение можно найти разность между приближенным и точным результатом. Распространение этой оценки на другие примеры очень ненадежно. Выход может быть найден, если вместо точного использовать приближенное, но более точное по сравнению с проверяемым значение. Однако при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.

Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов.

Ответить на второй вопрос можно с помощью повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворяет требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3 [9]), то цель достигнута. Если нет, то данный способ оценки в конкретном случае следует признать ненадежным. Подробнее о критерии надежности сказано ниже.

Кроме того, при хороших оценках результаты экстраполяции можно использовать вместо вычисленных данных, как более точные. При этом необходима дополнительная экстраполяция, чтобы убедиться в надежности полученных таким способом результатов. В некоторых случаях путем повторной экстраполяции можно получить результаты, на многие порядки более точные, чем рассчитанные непосредственно с помощью численного метода, и чего невозможно было бы добиться прямым расчетом в связи с огромными затратами времени, превышающими разумные пределы.