- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
2.3. Метод половинного деления
Среди численных методов решения уравнения (2.1) наиболее простым в реализации является метод половинного деления. Он позволяет отыскивать корень уравнения (2.1) с любой заданной точностью и применим в том случае, если – непрерывна на и . Суть метода состоит в следующем.
Разбиваем пополам; среди двух получившихся отрезков выбираем тот, на концах которого принимает значения разных знаков. Получаем новый отрезок , внутри которого находится точный корень уравнения. Данный процесс деления и выбора нового более узкого отрезка продолжаем до тех пор, пока на n-ом шаге длина полученного отрезка не станет меньше . Тогда приближенный корень уравнения может быть найден по формуле
(2.3)
При этом абсолютная погрешность найденного корня не превышает , т. е. . Может случиться, что на некотором шаге значение в середине отрезка равно нулю. Тогда середина отрезка – точный корень уравнения (3.1).
2.4. Метод Ньютона
Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке , причем и и отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Ограничения на производные геометрически означают, что кривая не только идет в одном направлении, – все время вверх или все время вниз , но к тому же строго выпукла вниз или вверх .
Геометрический смысл метода Ньютона или иначе – метода касательных состоит в том, что к графику функции проводится касательная в некоторой точке с абсциссой , и вместо точки пересечения графика с осью Ox ищется точка пересечения этой касательной с осью Ox (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона
В качестве начальной точки выбирается тот из концов отрезка , в котором функция и ее вторая производная имеют один и тот же знак
(2.4)
Затем строят касательную к графику в точке с абсциссой , находят абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Снова строят касательную к графику уже в точке и находят абсциссу точки пересечения новой касательной с осью Ox. Продолжая этот процесс, получают числовую последовательность
(2.5)
Можно доказать [2], что при выполнении перечисленных в начале этого параг-рафа условий, последовательность (2.5) сходится к корню уравнения (2.1).
Получим расчетную формулу для метода Ньютона. Пусть и – предыдущее и последующее приближения корня. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке : . В уравнении положим , тогда (так как это точка пересечения касательной с осью Ox). Значит . Разрешая это уравнение относительно , находим
(2.6)
Полученная рекуррентная формула (2.6) определяет сходящуюся к числовую последовательность. Погрешность приближенного к значения определяется из неравенства, установленного в работах [2], [3]:
(2.7)
где
2.5. Метод хорд
Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке , причем и существуют и знакопостоянны и для всех . Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что к графику функции на отрезке, внутри которого находится корень, проводится стягивающая его хорда и вместо точки пересечения графика с осью Ox ищется уже точка пересечения этой хорды с осью Ox. В качестве начального приближения к корню выбирается тот из концов отрезка , в котором функция и ее вторая производная имеют противоположные знаки, т. е.
(2.8)
При этом противоположный конец отрезка будет неподвижен. Этот неподвижный конец отрезка обозначим через C (рис. 2.4). Строя последовательно указанным выше способом хорды и находя их точки пересечения с осью Ox, получаем последовательность приближений искомого корня
,
которая при выполнении отмеченных в начале параграфа условий, будет сходиться к корню уравнения (2.1).
Рис. 2.4. Геометрическая иллюстрация метода хорд
Получим расчетную формулу для метода хорд. Пусть и – предыдущее и последующее приближения корня, C – неподвижная точка. Запишем уравнение прямой (хорды), проходящей через две точки с координатами и . Получим
.
В уравнении положим , тогда и уравнение примет вид
.
Разрешая это уравнение относительно , получим рекуррентную формулу для последовательности приближений корня уравнения (2.1)
(2.9)
При этом погрешность приближения на n-ом шаге определяется следующим неравенством [2], [3]:
(2.10)
где