- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
2.1.2. Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
– – множество натуральных чисел;
– – множество целых неотрицательных чисел;
– – множество целых чисел;
– – множество рациональных чисел.
Определение. Множество всех бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел и обозначается , а каждая такая дробь называется действительным числом.
Множество всех рациональных чисел является подмножеством множества , т. е. .
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными . Иррациональные числа изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси) (см. рис. 2.1.5), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.
Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. Каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число » говорят «точка ».
Пусть и – действительные числа, причем , тогда числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
– – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
– – интервал (открытый промежуток);
–, – полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
– бесконечные интервалы (промежутки):
, , ,
, .
Числа и называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала влево и вправо.
О пределение. Пусть – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку . В частности, интервал , где называется –окрестностью точки . Число называется центром, а число –радиусом (см. рис. 2.1.6).
Если , то выполняется неравенство , или, что то же . Выполнение последнего неравенства означает попадание точки в -окрестность точки (см. рис.2.1.6).
Упорядоченные пары действительных чисел можно изображать точками координатной плоскости.
Под координатной плоскостью будем понимать плоскость с заданными на ней двумя взаимно перпендикулярными координатными осями (или числовыми прямыми). Поэтому множество упорядоченных пар действительных чисел будем называть числовой плоскостью, а любую числовую пару – точкой числовой плоскости.
Числовую плоскость будем обозначать . На числовой плоскости можно применять геометрическую терминологию. Например, множество пар или точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , есть прямая, а именно биссектриса первого и третьего координатных углов.
Множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению , есть кубическая парабола.
Пример. Указать множество точек плоскости, заданных условием .
Р ешение: Искомое множество показано штриховкой на рис.2.1.7.