Ипользование пакета mathcad при решении систем ду

Системы дифференциальных уравнений, но только первого порядка можно решить с использованием пакета MATHCAD. При этом используется функция rkfixed (y,a,b,N,f) и метод Рунге-Кутты. Ниже приведен пример решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

Решите задачу Коши на отрезке методом Рунге-Кутты с постоянным шагом h=0,1. Изобразите графики решений, вычисленных с шагами .

Порядок выполнения задания

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.

3. Присвойте начальное значение решения вектору-столбцу с именем y.

4. Определите правую часть уравнения, присвойте соответствующие выражения элементам вектора-столбца с именем .

5. Найдите величину .

6. Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным в п.5.

7. Сохраните решение в матрице .

8. Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным по формуле .

9. Сохраните решение в матрице .

10. Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным по формуле .

11. Сохраните решение в матрице .

12. Постройте на одном графике все три найденных решения.

13. Оцените погрешности найденных решений по формуле Рунге.

Пример выполнения задания

Решите на отрезке методом Рунге-Кутты с постоянным шагом задачу Коши

Оцените погрешности решений, вычисленных с шагами 0,1, 0,05 и изобразите графики приближенных решений. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями и графиками приведен ниже.

Зададим начальное условие и правые части уравнений системы

Решим задачу Коши на отрезке с постоянным шагом h=3/30=0,1

- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 30 узлов равномерной сетки на , во втором - соответствующие значения решения y₁, в третьем - значения y₂

Выведем таблицу значений решения в узлах равномерной сетки и построим график решения

Решим задачу Коши на отрезке с постоянным шагом h=3/60=0,05

- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 60 узлов равномерной сетки на , во втором - соответствующие значения решения y₁, в третьем - значения y₂

Выведем таблицу значений решения в узлах равномерной сетки и построим график решения

Решим задачу Коши на отрезке с постоянным шагом h=3/15=0,2

- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 15 узлов равномерной сетки на , во втором - соответствующие значения решения y₁, в третьем - значения y₂

Выведем таблицу значений решения в узлах равномерной сетки и построим график решения

Оценим по Рунге погрешности найденных решений

Погрешность решения, вычисленного с шагом h=0,05, не превышает 0,01

Погрешность решения, вычисленного с шагом h=0,1, не превышает 0,01

Задания для лабораторной работы

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21.