III.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.

Рассматриваем регулярную поверхность в окрестности точки . Дифференциалы , из (III.7.1) подставим в выражение (III.6.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на приходим к равенству

.

Отсюда получаем

.

Дифференцируем это равенство по и по :

Главные направления в касательной плоскости определяются этой систе­мой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае .

.

Значение определителя

.

Главные кривизны , есть корни выписанного уравнения. Воспользу­емся теоремой Виетта:

, .

Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных кривизн.

III.11. Плоскость, сфера, псевдосфера.

Проведем вычисления кривизн для указанных поверхностей.

1. плоскость. Ее задание

.

Находим частные производные:

, , .

По вычислительным формулам для , , , п. III.6, имеем: . Значит, см. формулы для и в п. III.10,

, .

Полная и средняя кривизны плоскости равны нулю;

2. сфера. Поверхность задается функцией

г (u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u). Находим частные производные:

.

Находим частные производные:

,

,

,

,

.

Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы сферы, см. (III.4.2):

, , .

Детерминант первой квадратичной формы:

.

Вычисляем коэффициенты второй квадратичной формы, п. III.6:

,

, , .

; ; .

Наконец, вычисляем полную и среднюю кривизну, п. III.10:

, .

Полная и средняя кривизны сферы постоянны и положительны;

3. псевдосфера. Это поверхность, полученная в результате вращения трактрисы

вокруг оси Oz. Поверхность задается функцией

.

Находим частные производные

,

,

,

,

.

Коэффициенты первой квадратичной формы псевдосферы

, , , .

Находим произведения векторов и коэффициенты второй квадратичной формы поверхности:

,

, , .

; ; .

Вычисляем полную и среднюю кривизну, п. III.10:

, .

Полная кривизна псевдосферы отрицательна и постоянна. За это свойство рассматриваемая поверхность названа псевдосферой.

Каждая точка плоскости есть точка уплощения, п. III.8. Существуют и другие поверхности, имеющие нулевую полную кривизну. Например, цилиндр - поверхность нулевой полной кривизны.