2. Цифровые фильтры

2.1. Основы цифровой фильтрации

Цифровым фильтром называется цифровая система, используемая для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован или программным методом на ЭВМ, или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов в реальном времени или для фильтрации предварительно записанных сигналов.

Аналоговый сигнал с ограниченным спектром можно преобразовать в дискретный посредством дискретизации. Полученный таким образом дискретный сигнал можно на основании теоремы отсчетов снова превратить в исходный аналоговый сигнал посредством интерполяции. Поэтому для решения задач фильтрации в реальном времени можно использовать цифровые фильтры, которые в недавнем прошлом решались с помощью аналоговых фильтров.

Преимущества, получаемые при этом, связаны с традиционными преимуществами цифровых систем вообще и заключаются в следующем:

1) некритичности к вариациям параметров компонентов;

2) нечувствительности к уходу параметров компонентов и внутренним помехам;

3) высокой точности;

4) малых физических размерах;

5) высокой надежности.

Очень важным дополнительным преимуществом цифровых фильтров является простота перестройки их параметров, что необходимо для изменения характеристик фильтров. Это свойство позволяет разрабатывать программируемые фильтры, решающие одновременно несколько задач фильтрации.

Цифровые сигналы вне зависимости от способа их получения представляются в виде последовательности чисел.

Во "временной" области цифровая система описывается набором разностных уравнений. Это значит, что при заданной входной последовательности и начальных условиях системы разностные уравнения единственным образом определяют выходную последовательность.

Наиболее подходящим методом решения линейных разностных уравнений является z-преобразование. Оно позволяет заменить решение этих уравнений решением алгебраических уравнений. Применение z-преобразования к разностным уравнениям аналогично применению преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям.

Основные проблемы цифровой фильтрации связаны с дискретизацией непрерывного сигнала, для получения его цифрового аналога. Эту теорему можно сформулировать следующим образом: непрерывную аналоговую функцию x(t), имеющую ограниченный спектр (т. е. спектр X(j) такой, что X(j)=0 при >_m), можно однозначно описать, зная ее значения в моменты времени, равномерно распределенные и отстоящие друг от друга на интервал Т, где

Т=2/s и s2m.

Важно отметить, что спектр дискретизированного сигнала получается путем периодического продолжения исходного ограниченного по частоте Зпектра с периодом, равным _s. При несоблюдении условий теоремы Котельникова мы получим явление, называемое наложением или эффектом отражения. В этом случае нельзя восстановить непрерывный исходный сигнал из соответствующей дискретизированной последовательности.

2.2. Реализация цифровых фильтров

2.2.1. Виды дискретных фильтров.

Линейный дискретный фильтр описывается линейным разностным уравнением:

,

(20)

Значения выходной последовательности y(n) в момент n определяются N значениями входной последовательности и M–1 значениями самой выходной последовательности в “прошлые” моменты.

Фильтры, описываемые уравнением (20) называются рекурсивными.

В частном случае, при a_m=0, m=1, 2, ..., из (31) получаем:

,

(21)

т. е. в этом случае значения выходной последовательности в любой момент определяется лишь значениями входной последовательности в этот же момент и N–1 “прошлыми” значениями входной последовательности. Фильтры, описываемые уравнением (21), называются нерекурсивными.

Алгоритмы рекурсивных и нерекурсивных фильтров могут быть представлены в виде структурных схем, в которых используются реализации трех операций – алгебраического сложения, умножения на константу и задержки на один интервал дискретизации.

Рис. 7. Структурная схема рекурсивного фильтра.

Рис. 8. Структурная схема нерекурсивного фильтра.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой – КИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал (N-точечный дискретный сигнал), т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n=0, 1, ..., N–1.

Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений n=0, 1, ...

Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром, в то же время рекурсивный фильтр может быть как БИХ-фильтром, так и КИХ-фильтром. Поскольку основные особенности проектирования и применения фильтров связаны с видом импульсной характеристики (КИХ или БИХ), а не с наличием или отсутствием обратной связи, будем, как правило, использовать термины “КИХ-фильтр” и “БИХ-фильтр”, а не “нерекурсивный” и “рекурсивный” фильтры [12].

2.3. Расчет цифровых БИХ- и КИХ-фильтров

Подобно аналоговым фильтрам расчет цифровых фильтров включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям. Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частотной области. Частотная характеристика Н(е^j) цифрового фильтра является непрерывной функцией переменной  с периодом 2:

Н(е^j^)=Н[е^j^(^^+^m^2^^)],

(22)

где m – целое число. Период обычно выбирается в пределах от - до . Это означает, что если Н(е^j) определена для  от - до , то она определена и для всех . Записывая Н(е^j) в экспоненциальной форме, получаем

Н(е^j^)=Н(е^j^)e^–^j^^(^^),

(23)

где Н(е^j) называется амплитудно-частотной характеристикой, а () – фазовым углом (запаздывания) фильтра.

Поскольку амплитудно-частотные характеристики представляют собой четные функции, а фазовые – нечетные, то достаточно определить частотную характеристику Н(е^j) цифрового фильтра для  в пределах от 0 до  вдоль верхней половины единичной окружности в z-плоскости.

При расчете фильтров удобнее использовать квадрат амплитудной функции и групповое время, чем амплитудно-частотную и фазовую характеристики. Квадрат амплитудной функции задается следующим соотношением:

H(e^j^)^2=H(z)H(z^–1), при z=e^j^.

(24)

Групповое время () характеризует задержку отклика фильтра и определяется следующим образом:

()=d()/d.

(25)

Наиболее желательная характеристика группового времени представляет собой приблизительно постоянную величину для частот в полосе пропускания фильтра.

В задачу проектирования фильтров входит нахождение частотной характеристики или передаточной функции, параметры которых удовлетворяют предъявленным к фильтру техническим требованиям. Следовательно, в своей основе расчет фильтра представляет собой процесс нахождения математической аппроксимации. Для математической аппроксимации используется набор базовых функций, которые позволяют систематизировать методику расчета. Решением задачи аппроксимации является одна или несколько функций, принадлежащих этому семейству базовых функций. Для цифровых фильтров реализуемые функции представляют собой и полиномы, и рациональные функции переменной z^–1. Цифровой фильтр, который описывается передаточной функцией в виде полинома

Н(z)=a0+a1z^-1+...+aMz^–M,

(26)

называется цифровым фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр). С другой стороны, цифровой фильтр, который задается передаточной функцией в виде рациональной функции

,

(27)

называется цифровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр). Для КИХ-фильтров отсутствуют проблемы, связанные с их устойчивостью и физической реализуемостью, поскольку все КИХ-фильтры устойчивы и физически реализуемы. Цифровые БИХ-фильтры устойчивы, если все полюсы функции Н(z), заданной выражением (27), расположены внутри единичного круга в z-плоскости и физически реализуемы, если b_k – первый ненулевой коэффициент знаменателя, а в числителе тогда коэффициенты равны a₀=a₁=...=a_k-1=0. Вследствие того, что рассматриваются исключительно физически реализуемые фильтры, обычно полагают b₀=1. Следовательно, общая передаточная функция цифрового БИХ-фильтра задается в виде:

.

(28)

2.3.1 Расчет цифровых БИХ-фильтров

Для цифровых БИХ-фильтров передаточные функции задаются соотношениями вида (29).

.

(29)

Заметим, что при замене переменной z на s выражение (29) представляет собой передаточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию цифровых БИХ-фильтров является нахождение в некотором смысле цифровых вариантов методов расчета аналоговых фильтров. Реализация этого подхода требует разработки простых алгоритмов, которые обеспечивают переход от расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых. Это означает, что расчет цифровых БИХ-фильтров состоит из следующих двух этапов.

Этап 1. Получение подходящей передаточной функции H(s), которая удовлетворяет требованиям задачи обработки сигнала.

Этап 2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию H(s) в соответствующую передаточную функцию H(z), для получения метода расчета цифрового БИХ-фильтра, удовлетворяющего заданным техническим требованиям.

Такая методика наиболее целесообразна при проектировании фильтров с типовыми характеристиками, таких, как фильтры нижних и верхних частот, полосовые и заграждающие, для которых имеется хорошо разработанный аппарат аналоговой фильтрации.

1. Метод инвариантности импульсной характеристики.

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам называется методом инвариантности импульсной характеристики. Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика h(n) результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики h(t).

Этап 1. Задано: набор технических характеристик фильтра.

Этап 2. Найти передаточную функцию H(s) аналогового фильтра, удовлетворяющую заданным характеристикам.

Этап 3. Найти h(t) – импульсную характеристику аналогового фильтра, полученного на этапе 2.

Этап 4. Определить импульсную характеристику h(n) цифрового фильтра в виде h(n)=h(t) при t=nt.

Этап 5. Найти передаточную функцию H(z) цифрового фильтра с помощью z-преобразования импульсной характеристики, полученной на этапе 4, следующим образом:

.

(30)

Этап 6. Результат: цифровой фильтр, полученный на этапе 5, удовлетворяющий требованиям этапа 1.

Однако метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным отображением. Из-за эффекта наложения этот метод применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частотной характеристикой, т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.

2. Метод билинейного преобразования.

Эффект наложения в методе инвариантности импульсной характеристики вызывается тем, что отсутствует однозначная функция перехода из s-плоскости в z-плоскость. Для исключения этого нежелательного эффекта наложения необходимо определить однозначное непрерывное отображение. Одним из таких преобразований является билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:

.

(31)

Графически билинейное преобразование выглядит так:

Данное преобразование отображает точку (0; 0) в точу (1; 0), а (0; ) и (0; -) — в точку (-1; 0).

Билинейное преобразование (31) – однозначная функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответствует только одна точка в s-плос­кости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения. Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя нахождение подходящей передаточной функции Н(s) аналогового фильтра и применение к ней билинейного преобразования (31) для получения передаточной функции Н(z) требуемого цифрового фильтра.

При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров идентичны, одинакова только их “форма”. Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает для 0<<, то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (31), будет обладать монотонно спадающей амплитудно-частотной характеристикой от 0 до . Однако соотношение между цифровой частотной переменной  и аналоговой частотной переменной  нелинейно:

.

(32)

Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой и ана­ло­го­вой частотой приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.

3. Частотные преобразования.

В предыдущих подразделах были рассмотрены три метода расчета цифровых фильтров. Во всех этих методах на первом этапе находится подходящий аналоговый фильтр, который удовлетворяет исходным требованиям. Расчет аналогового фильтра начинается с нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа нижних частот. В дальнейшем используется подходящее частотное преобразование для перевода этого прототипа нижних частот в требуемый аналоговый фильтр. Наконец, на основе процедуры отображения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый цифровой БИХ-фильтр, который удовлетворяет предъявленным требованиям. Процедура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики по существу не обеспечивают хороших методов расчета цифровых фильтров, если полоса аналогового фильтра не ограничена низкими частотами. Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифровой и аналоговой частотой) дает лучшие результаты только для тех частотных характеристик ана­логового фильтра, которые представляют собой ступенчатообразную функцию. Это означает, что такая процедура расчета не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних частот, заграждающих и некоторых типов полосовых фильтров.

Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых БИХ-фильтров на основе методов расчета аналоговых фильтров. В этом случае процедура перехода всегда имеет дело с нормированным прототипом нижних частот. Следовательно, рассмотренные в предыдущих подразделах процедуры перехода смогут обеспечить хорошие результаты. В основном этот подход состоит в нахождении подходящего нормированного аналогового фильтра нижних частот. Аналоговый прототип отображается в цифровой фильтр-прототип нижних частот. Наконец, используется цифровое частотное преобразование для перехода от цифрового прототипа нижних частот к окончательному варианту, т. е. цифровому фильтру с подходящими характеристиками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяющему предъявленным требованиям.

2.3.2. Расчет цифровых КИХ-фильтров.