- •§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.1. Общие понятия
- •§6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Примеры для самостоятельной работы.
- •§7 Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.1.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения лнду.
- •7.2. Метод подбора частного решения лнду по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).
- •7.3. Структура частного решения лнду с аддитивной правой частью.
§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
-
-
6.1. Общие понятия
Определение 1: Дифференциальное уравнение 2-ого порядка вида
, (1)
где и данные на функции называется линейным ДУ 2-ого порядка (ЛНДУ).
Определение 2: Линейное ДУ 2-ого порядка
, (2)
где данные действительные постоянные числа, аизвестная непрерывная на интервале функция, называется линейным ДУ с постоянными коэффициентами.
Определение 3: Если в ДУ (2) на , то уравнение
(3)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.
. Однородное линейное ДУ(3), левая часть которого
такая же, как в неоднородном линейном ДУ(2),
называется соответствующим ему однородным
уравнением.
Определение 4:функции называются линейно независимыми на интервале I ,если .в противном случае функции линейно независимые.
Определение 5: Совокупность двух линейно независимых решений ДУ называется фундаментальной системой решений данного уравнения.
Теорема 6.1.(о структуре общего решения ЛОДУ):
Пусть -фундаментальная система решений ДУ, тогда общее решение этого уравнения имеет вид
где С1,С2– произвольные постоянные.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение ЛНДУ с постоянными коэффициентами (2). Имеет место теорема о структуре его общего решения:
Теорема 6.2. (о структуре общего решения ЛНДУ):
Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y0 соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:
Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.
Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).
§6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
ДУ вида
( 3)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.
Где a,b,c-постоянные вещественные числа.
Будем искать частные решения ДУ (3) в виде , где , тогда .
Подставляя значения в ДУ (3), находим
Так как то получим следующее алгебраическое выражение
(4)
которое называется характеристическим уравнением для ЛОДУ (3).
Уравнение (4) является уравнением 2-ой степени и имеет 2 корня (действительных или комплексных, среди них могут быть и равные).
Каждому корню характеристического уравнения соответствует частное решение , вид которого зависит от характера корня.
Совокупность частных линейно независимых решений составляет фундаментальную систему решений ЛОДУ (3).
Тогда общее решение ЛОДУ (12) имеет вид:
Определение 7: Компоненты общего решения дифференциального уравнения (3) определяются в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4) следующим образом:
1) каждому действительному простому (т.е. не кратному) корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;
2) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида
;
3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;
-
каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида
. (16)
Рассмотрим частные случаи линейных однородных уравнений ЛОДУ:
а) если =2, т.е. ЛОДУ второго порядка;
Способ решения ЛОДУ второго порядка состоит в том, что:
-
при помощи замены
- через , - через , - через 1
составляется характеристическое уравнение, соответствующее данному ЛОДУ;
-
решается характеристическое уравнение, находятся корни:
-
устанавливается характер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и определяется соответствующая этим корням фундаментальная система решений
-
составляется общее решение ЛОДУ:
.
Последовательность нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка и приемы составления фундаментальной системы решений представлены в таблице 2 .
Таблица 2.
Общее решение (ЛОДУ) второго порядка.
Порядок |
n=2 |
||
Общий вид ЛОДУ |
|||
Характеристическое уравнение |
|
||
Характер корней |
- действительные различные числа |
действительные одинаковые числа |
- комплексно сопряженные числа |
Фундаментальная система решений |
|||
Общее решение |
Пример1. Найти фундаментальную систему решений ДУ:
Решение.
-
характеристическое уравнение:
;
-
корни ;
-
так как корни действительные различные, то фундаментальная система решений: .
Ответ:
Пример 2. Найти фундаментальную систему решений ДУ:
.
Решение.
-
Характеристическое уравнение: ;
-
корни: ;
-
так как действительные числа, то фундаментальная система решений: .
Ответ: .
Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Характеристическое уравнение: ;
-
корни: ;
-
так как корни комплексно сопряженные, то фундаментальная система решений: ;
-
общее решение .
Ответ: фундаментальная система решений;
общее решение.
Пример4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение ДУ:
Решение.
-
Характеристическое уравнение: ;
-
корни: ;
-
так как все корни – действительные числа и два из них одинаковы, то фундаментальная система решений
;
-
общее решение .
Ответ: фундаментальная система решений; общее решение.