§ I. Деление многочленов. Схема Горнера. Наибольший общий делитель.
Пусть обозначает произвольное числовое поле и — многочлены из . Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что .
Теорема о делении с остатком. Для любых многочленов , существуют многочлены и такие, что , причем степень меньше степени или же . Многочлены и определены однозначно.
Многочлены и называются соответственно частным и остатком. Многочлен делит тогда и только тогда, когда .
В частном случае, когда , деление проще осуществить с помощью схемы Горнера.
Пусть . Если — частное, — остаток от деления на , то либо , либо степень равна нулю и, следовательно, .
Нетрудно видеть тогда, что коэффициенты и могут быть получены по формулам:
(1)
Для практического использования схемы Горнера составляют таблицу. Рассмотрим пример.
Пример 1. Найти частное и остаток от деления на .
Решение. Воспользуемся схемой Горнера и составим таблицу, в первой строке которой стоят коэффициенты многочлена , а во второй записываем коэффициенты частного и остаток, вычисляя их по формулам (1):
|
2 |
-1 |
0 |
3 |
2 |
2 |
3 |
6 |
15 |
Получаем Частное равно , остаток равен 15.
Для решения ряда задач математического анализа и алгебры бывает необходимо представлять многочлен по степеням , то есть представлять в виде: .
Для решения этой задачи используется следующий алгоритм.
Разделим на с остатком. Затем разделим частное на . Затем разделим новое частное на и т.д. Деление осуществляем до получения в частном многочлена нулевой степени:
(2)
Очевидно, степень равна нулю и . Подставим выражение для и выражение для : . Теперь подставим выражение для в выражение для в равенствах (2): .
Продолжая и далее этот процесс, в конечном счете получим: . Теперь ясно, что
(3)
Пример 2. Представить многочлен по степеням .
Решение. Для решения воспользуемся предложенным выше алгоритмом. Деление на будем осуществлять по схеме Горнера и результаты сразу записывать в таблицу:
Из формул (3) следует, что коэффициенты находятся на «ступеньках» таблицы. Получаем — искомое представление многочлена.
Представление многочлена по степеням можно использовать для вычисления значения многочлена и его производных в точке .
В самом деле, пусть
(4)
Тогда, очевидно,
(5)
Эти формулы получаются с помощью дифференцирования правой и левой частей равенства (4) или из формулы Тейлора.
Пример 3. Найти значение многочлена и всех его производных в точке .
Решение. Представим многочлен , по степеням . (См.пример 2) Тогда из формул (5) получаем
Производные более высоких порядков равны нулю.
Если — многочлены из и многочлен делит и (без остатка), то называется общим делителем и .
Наибольшим общим делителем (н.о.д.) многочленов и называется многочлен , удовлетворяющий условиям:
1) является общим делителем и ;
2) делится на всякий общий делитель и ;
3) старший коэффициент равен единице.
Для нахождения н.о.д. применяется алгоритм Евклида. Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида равен н.о.д. с точностью до постоянного множителя.
Литература: — § 20, 21, — § 9.1,9.2., — № 546-551, 554-557.