- •Теория функций комплексного переменного §1. Действия с комплексными числами
- •§2. Функция комплексной переменной
- •§ 3. Дифференцирование функции комплексной переменной
- •§4. Интеграл в комплексной плоскости
- •§5 Ряды тейлора и лорана, вычеты
- •Функциональный анализ §6 линейные пространства
- •§7 Ряды фурье
- •§8 Интеграл лебега
- •Задачи повышенной сложности
- •Список рекомендованной литературы
СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7
§1. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 7
§2. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 9
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 11
§4. ИНТЕГРАЛ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 13
§5 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ 15
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 18
§6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 18
§7 РЯДЫ ФУРЬЕ 20
§8 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 28
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ 34
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 38
Образец выполнения задания
Задание 5 №7.
Выделить вещественную и мнимую часть функции и проверить условия Коши Римана.
Решение:
Ответ: .
Условия Коши-Римана не выполнены.
Задания по теме «Ряды Фурье» (§ 6) желательно проверить с помощью пакета прикладных программ и распечатку вложить в РГР. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствующие адреса серверов:
-
Maple http://www.maplesoft.com;
-
MathCad http://www.mathsoft.com;
-
MathLab http://www.mathworks.com;
http://www.softline.ru
В конце семестра студент сдает выполненную РГР и защищает ее в установленные преподавателем сроки. Выполнение РГР оценивается в баллах в соответствии с рейтинговой системой, утвержденной в РГСУ. При этом каждая верно решенная задача оценивается в 1 балл. Задача считается решенной, если приведено решение, в котором безошибочно выполнены все преобразования и даны необходимые пояснения, записан правильный ответ. Максимальное число баллов, которое может быть выставлено за выполнение РГР составляет 20 баллов. Работа, оцененная менее чем в 12 баллов, считается не выполненной. Студент, не сдавший РГР, не допускается к экзамену (зачету) по ТФКП и ФА
Теория функций комплексного переменного §1. Действия с комплексными числами
Мнимой единицей называется величина, которая удовлетворяет равенству . Символически обозначают . Из этого определения следует, что
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Комплексным числом называют выражение вида , в котором и - вещественные числа, называемые соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z .
Комплексное число определяется упорядоченной парой вещественных чисел и поэтому изображается в прямоугольной системе координат точкой или ее радиус-вектором .
Два комплексных числа и называются равными, если .
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, определяются следующим образом:
Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий с многочленами.
Числа и называются сопряженными.
Чтобы разделить одно комплексное число на второе, можно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Формула Эйлера:
Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
1.
2.
3. - формула Муавра
4.
ЗАДАНИЕ 1
Вычислить , если:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
19) 20) 21)
22) 23) 24)
ЗАДАНИЕ 2
Найти все значения корня.
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10) 11) 12)
13) 14) 15) 16) 17) 18)
19) 20) 21) 22) 23) 24)
ЗАДАНИЕ 3
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
§2. Функция комплексной переменной
Если каждому комплексному числу на комплексной плоскости Z ставится в соответствие по определённому закону одно или несколько чисел из множества Е на комплексной плоскости W, то w- функция комплексной переменной z, D – область существования, E – область изменения w . Геометрически - отображение области D комплексной плоскости Z на область E комплексной плоскости W.
Основные элементарные функции.
1.
2.
3.
Следствие:
4.
5.
ЗАДАНИЕ 4
Вычислить.
ЗАДАНИЕ 5
Найти образ E области D плоскости z при отображении функцией .