Задание 4.2.

1. Найти max и min .

> y:=(x^2-1/2)*arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/4-

Pi*x^2/12:

> extrema(y,{},x,'s');s;

После выполнения этих команд найдены экстремумы функции и точки экстремумов. Порядок следования x–координат экстремумов во второй строке вывода соответствует порядку следования значений экстремумов в первой строке вывода. Таким образом, найдены экстремумы в точках (0,0) и (1/2, –/24+). Осталось выяснить, какая из них является максимумом, а какая – минимумом. Для этого используйте команды maximize и minimize.

> ymin:= minimize(y,x=0..1/2);

> ymax:= maximize(y,x=0..1/2);

Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

“Экстремумы: , .”

Для набора математических символов и греческих букв в текстовом режиме следует нажать кнопку со значком суммы на Панели инструментов. В появившейся строке ввода формул ниже Панели инструментов следует набирать обычные команды Maple, после чего нажать Enter. Например, для отображения формулы следует набрать в строке ввода формул sqrt(3).

Для возвращения в текстовый режим снова следует нажать на кнопку с буквой «Т».

Поэтому порядок набора второй формулы в ответе такой:

• находясь в текстовом режиме, набрать: miny(x)=y(1/2)= ;

• нажать на кнопку

• в строке ввода формул набрать: -Pi/24+sqrt(3)/16

• нажать Enter;

• вернуться в текстовый режим.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение на интервале . Наберите:

> f:=x^2*ln(x):

maximize(f,x=1..2);

> minimize(f,x=1..2);

Ответ наберите в текстовом режиме в новой строке:

”Наибольшее значение: , наименьшее значение min f(x)=0“

3. Найти экстремумы функции и установить их характер с помощью второй производной. Наберите:

> restart:y:=x^3/(4-x^2): readlib(extrema):

readlib(maximize): readlib(minimize):

> extrema(y,{},x,'s');s;

{}

{{x=0},{},{}}

Получено два экстремума и три критические точки. Исследование можно продолжить с помощью второй производной:

> d2:=diff(y,x$2): x:=0: d2y(x):=d2;

d2y(0):=0

> x:=2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

> x:=-2*sqrt(3):d2y(x):=d2;

Так как , то в точке x=0 нет экстремума; так как , то в точке будет max; так как , то в точке будет min. Перейдите в текстовый режим и запишите ответ в виде:

“Максимум в точке (), минимум в точке ()”.

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в полном имени студента,

- последняя цифра номера студента в журнале, в случае 0 – заменить на 10,

- число букв в фамилии студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

Задания.

1. Вычислите пределы

а) б) в)

2. Найти пределы функции при и при .

3. Найти .

5. Найти точки разрыва функции .

6. Найти экстремумы функции

а) б)

в) на отрезке [-10;10]

7. Найти асимптоты Построить график функции и все асимптоты на одном рисунке. Сделать соответствующие подписи.

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2,-а) и касающейся кривой . Построить графики функции и касательной.