- •Полиномиальная интерполяция
- •1. Полиномиальная интерполяция
- •1.1. Интерполяционный многочлен в канонической форме.
- •1.2. Построение интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
- •1.3. Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона.
- •1.4. Задание на практику.
- •1.5. Варианты заданий.
- •Список литературы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»
Институт радиоэлектроники и информационных технологий - РТФ
Кафедра Автоматика и информационные технологии
Полиномиальная интерполяция
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К лабороторной работе ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Численные методы»
2011 |
Составитель И.А.Селиванова, ст.преподаватель.
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Численные методы»
Указания предназначены для студентов всех форм обучения направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника».
Ó ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина», 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 4
1.1. Интерполяционный многочлен в канонической форме. 4
1.2. Построение интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. 6
1.3. Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона. 7
1.4. Задание на практику. 8
1.5. Варианты заданий. 9
Список литературы 11
1. Полиномиальная интерполяция
Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка [a, b] восстановить ее значения в любой точке отрезка.
Пусть в точках x0, x1,…xn таких, что <<…<, известны значения функции , т.е. на отрезке [a, b] задана табличная (сеточная) функция:
|
(1) |
Функция называется интерполирующей или интерполяционной для на [a, b], если ее значения , ,…, в заданных точках , ,…, , называемых узлами интерполяции, совпадают с заданными значениями функции , т.е. с , ,…, соответственно. Будем считать, что интерполяционная функция есть многочлен степени n. Тогда задача интерполяции (полиномиальной, алгебраической или параболической, поскольку график любого многочлена называется параболой) формулируется следующим образом:
для функции , заданной таблицей (2.1), найти многочлен такой, что выполняется совокупность условий интерполяции:
{0,1,…,n}. |
(2) |
Найти многочлен - это значит, учитывая его каноническую форму
|
(3) |
найти n+1 коэффициент a0, a1,…an .
1.1. Интерполяционный многочлен в канонической форме.
Чтобы многочлен (2.3) был интерполяционным для функции (1), нужно, чтобы его коэффициенты a0, a1,…an удовлетворяли системе уравнений
|
(4) |
Из курса алгебры известно, что определитель этой линейной системы (так называемый определитель Вандермонда) отличен от нуля, т.е. решение этой системы существует и единственно.
Для вычисления значения многочлена в произвольной точке x используется схема Горнера (или схема вложенных умножений).
Для произвольного значения n интерполяционный многочлен в канонической форме имеет вид:
|
|
Для вычисления значения этого многочлена в произвольной точке рассчитываются вспомогательные коэффициенты
|
(5) |
Значение в точке равно значению коэффициента b0.
Пример.
Исходные данные:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-0.5 |
1.5 |
|
|
9.5 |
6 |
8.5 |
20 |
- |
- |
Построим расширенную матрицу системы уравнений (4):
|
|
После приведения к треугольной форме получим:
|
|
Теперь можно найти :
Подставим полученные значения в формулу (2.3):
Используя схему Горнера (2.5), рассчитаем значения в точках
Значение =
Значение =