- •Белорусский национальный технический университет
- •Математика Учебная программа для специальностей:
- •Цели и задачи учебной дисциплины
- •Выпускник должен:
- •1. Содержание
- •Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел 2. Введение в математический анализ
- •Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •Раздел 6. Интегральное исчисление функций многих переменных
- •Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля
- •Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра
- •Раздел 10. Числовые и функциональные ряды
- •Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье
- •Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Уравнения математической физики
- •Раздел 15. Теория вероятностей
- •Раздел 16. Математическая статистика
- •Учебно-методическая карта дисциплины
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •1. Основная литература.
- •2. Дополнительная литература
Цели и задачи учебной дисциплины
Преподавание высшей математики имеет целью:
– формирование личности студента, развитие его интеллекта и способности к логическому алгоритмическому мышлению;
– обучение основным математическим методам, необходимым для анализа реальных процессов и явлений, при поиске оптимальных решений задач и выбора наилучших способов реализации этих решений;
– обучение основным методам обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.
Задачи преподавания математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам специфику математики, ее сущность и общность, а также разъяснить роль математики, которую она играет при решении научно-технических задач. Задачами преподавания математики являются также обучение студентов приемам исследования и решения формализованных математических задач, выработка у студентов умения анализировать полученные результаты. Кроме этого студентам необходимо привить навыки самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
Выпускник должен:
знать:
– методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, решения дифференциальных уравнений;
– основы теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля;
– основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
– основные математические методы решения инженерных задач;
уметь:
– решать математически формализованные задачи линейной алгебры и аналитической геометрии;
– дифференцировать и интегрировать функции, вычислять интегралы по фигуре, решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений;
– ставить и решать вероятностные задачи и производить статистическую обработку опытных данных;
– строить математические модели физических процессов.
Распределение общего количества часов по семестрам:
1 семестр – 119 часа; 2 семестр – 85 часов; 3 семестр – 102 часа; 4 семестр – 68 часов.
1. Содержание
Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
-
Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.
-
Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.
-
Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
-
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.
-
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
-
Декартова система координат. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора.
-
Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.
-
Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме.
-
Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трёх векторов.
10. Кривая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
-
Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
-
Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.
-
Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.
-
Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
-
Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах. Понятие о тензорах.
-
Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.
-
Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.
-
Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Сопряжённые числа.
-
Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
22. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.