Лабораторная работа №2
Сложение гармонических колебаний
Цель работы: Изучить биения и сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с помощью электронного осциллографа.
Оборудование и принадлежности: осциллограф универсальный
С1-65, звуковой генератор, соединительные провода.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса) и описываются уравнением типа
x = А соs (t + 0),
где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, – круговая (циклическая) частота, 0 или 0 – начальная фаза колебания в момент t=0, (t + 0) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то х может принимать значения от +А до –А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемой периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2.
Т= 2
Величина, обратная периоду колебаний, = 1/Т называется частотой колебаний и равна числу полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Откуда =2. Единица частоты - герц (Гц). 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается 1 цикл процесса.
Гармонические колебания могут изображаться графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x (рис.1). Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от -А до +A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Рис. 1.
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний х1 и x2, которые определяются функциями
, (1)
¯ Представим оба колебания с помощью векторов A1 и А2 (рис.2). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
Поэтому вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω0, как и векторы А1 и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с
Рис. 2. частотой ω0, амплитудой A и начальной
фазой α.
Используя теорему косинусов получаем, что
(2)
Также из рисунка видно, что
(3)
Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.