Вопрос 13 метод Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Алгоритм

1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.

4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.

5. Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Вопрос 14 Критерий совместности линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Вопрос 15 Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Скалярная величина – это такая величина которая обладает лишь числовым значением.

Векторная величина –величина обладающая направлением.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b.Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а. Произведением вектора а на скаляр (число) λ  называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину    |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 2.     (а +b) +с=а + (b +с), 3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.