3.3. Расчет косвенных затрат на производство при I-м уровне цен на основные ресурсы

Косвенные (условно-постоянные) затраты (З_{пост i}) при i-м уровне цен на ресурсы рассчитывают как произведение коэффициента косвенных затрат (К_кос) (см. табл. 6) на годовой фонд прямой заработной платы основных рабочих при i-м состоянии «внешней среды» (ПЗП_i):

З_{пост i} = К_кос·ПЗП_i .

3.4. Определение оптимальных программ выпуска продукции при различных состояниях «внешней среды»

При условии полной определенности i-го состояния «внешней среды», которое характеризуется вектором уровня цен на ресурсы и готовую продукцию:

.

Оптимальная программа выпуска

определяется решением задачи линейного программирования, сформулированной в подразд. 3.1:

которая может быть представлена в следующей развернутой форме:

где – вектор переменных x_j, характеризующих объёмы производства изделий

– вектор коэффициентов целевой функции при i-м состоянии «внешней среды» ();

– вектор констант ограничений при i-м состоянии «внешней среды» (): b₁ = Т_год , b_i2 = D - З_{пост i} ,

– матрица технико-экономических характеристик t_j, S_ij производства изделий при i-м состоянии «внешней среды»,

Представим задачу линейного программирования

- для 1-го уровня цен

Ограничения по ресурсам

200x₁+350x₂+500x₃+700x₄+900x₅<=900 000

9042.5*x₁ + 8664.74*x₂+8285.62*x₃+8088.12*x₄+7891.99*x₅ <= 7 500 000 – 2 600 910

Целевая функция

11625.26*X₁ + 20555.38*X₂+12278.43*X₃+15177.44*X₄+13246.38*X₅ max

- для 2-го уровня цен

Ограничения по ресурсам

200x₁+350x₂+500x₃+700x₄+900x₅<=900 000

12609.19*x₁ + 12219.35*x₂+11829.5*x₃+11733.65*x₄+11637.94*x₅ <= <=75000 000 - 4 201 470

Целевая функция

17512.86*X₁ + 19390.96*X₂+23459.00*X₃+17450.47*X₄+20768.30*X₅ max

Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом..

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 11625.26x₁+20555.38x₂+12278.43x₃+15177.44x₄+13246.38x₅ при следующих условиях-ограничений.

200x₁+350x₂+500x₃+700x₄+900x₅≤700000

9042.5x₁+8664.74x₂+8285.62x₃+8088.12x₄+7891.99x₅≤4899090

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

200x₁ + 350x₂ + 500x₃ + 700x₄ + 900x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 700000

9042.5x₁ + 8664.74x₂ + 8285.62x₃ + 8088.12x₄ + 7891.99x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 4899090

Введем новую переменную x₀ = 11625.26x₁+20555.38x₂+12278.43x₃+15177.44x₄+13246.38x₅.

Выразим базисные переменные <6, 7> через небазисные.

x₀ = 0+11625.26x₁+20555.38x₂+12278.43x₃+15177.44x₄+13246.38x₅

x₆ = 700000-200x₁-350x₂-500x₃-700x₄-900x₅

x₇ = 4899090-9042.5x₁-8664.74x₂-8285.62x₃-8088.12x₄-7891.99x₅

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x₀.

1. Проверка критерия оптимальности.

В выражении для x₀ присутствуют отрицательные элементы. Следовательно, текущий план неоптимален

2. Определение новой базисной переменной.

max(11625.26,20555.38,12278.43,15177.44,13246.38,0,0) = 20555.38

x₀ = 0+11625.26x₁+20555.38x₂+12278.43x₃+15177.44x₄+13246.38x₅

x₆ = 700000-200x₁-350x₂-500x₃-700x₄-900x₅

x₇ = 4899090-9042.5x₁-8664.74x₂-8285.62x₃-8088.12x₄-7891.99x₅

В качестве новой переменной выбираем x₂.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₇ в план войдет переменная x₂.

4. Пересчет всех уравнений.

Выразим переменную x₂ через x₇

x₂ = 565.41-1.04x₁-0.96x₃-0.93x₄-0.91x₅-0.0001x₇

и подставим во все выражения.

x₀ = 0+11625.26x₁+20555.38(565.41-1.04x₁-0.96x₃-0.93x₄-0.91x₅-0.0001x₇)+12278.43x₃+15177.44x₄+13246.38x₅

x₆ = 700000-200x₁-350(565.41-1.04x₁-0.96x₃-0.93x₄-0.91x₅-0.0001x₇)-500x₃-700x₄-900x₅

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = 11622120.99-9826.28x₁-7377.56x₃-4010.02x₄-5475.8x₅-2.37x₇

x₆ = 502108.14+165.26x₁-165.31x₃-373.29x₄-581.21x₅+0.0404x₇

x₂ = 565.41-1.04x₁-0.96x₃-0.93x₄-0.91x₅-0.0001x₇

Полагая небазисные переменные x = (6, 2) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (9826.28, 0, 7377.56, 4010.02, 5475.8, 0, 2.37), x₀ = 11622120.9874

Выражение для x₀ не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.

Окончательный вариант системы уравнений:

x₀ = 11622120.99-9826.28x₁-7377.56x₃-4010.02x₄-5475.8x₅-2.37x₇

x₆ = 502108.14+165.26x₁-165.31x₃-373.29x₄-581.21x₅+0.0404x₇

x₂ = 565.41-1.04x₁-0.96x₃-0.93x₄-0.91x₅-0.0001x₇

Оптимальный план можно записать так:

x₆ = 502108.14

x₂ = 565.41

F(X) = 20555.38*565.41 = 11622120.99

Аналогично, сделаем расчеты для второго уровня цен.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 17512.86x₁+19390.96x₂+23459x₃+17450.47x₄+20768.3x₅ при следующих условиях-ограничений.

200x₁+350x₂+500x₃+700x₄+900x₅≤900000

12609.19x₁+12219.35x₂+11829.5x₃+11733.65x₄+11637.94x₅≤3298530

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

200x₁ + 350x₂ + 500x₃ + 700x₄ + 900x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 900000

12609.19x₁ + 12219.35x₂ + 11829.5x₃ + 11733.65x₄ + 11637.94x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 3298530

Введем новую переменную x₀ = 17512.86x₁+19390.96x₂+23459x₃+17450.47x₄+20768.3x₅.

Выразим базисные переменные <6, 7> через небазисные.

x₀ = 0+17512.86x₁+19390.96x₂+23459x₃+17450.47x₄+20768.3x₅

x₆ = 900000-200x₁-350x₂-500x₃-700x₄-900x₅

x₇ = 3298530-12609.19x₁-12219.35x₂-11829.5x₃-11733.65x₄-11637.94x₅

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x₀.

1. Проверка критерия оптимальности.

В выражении для x₀ присутствуют отрицательные элементы. Следовательно, текущий план неоптимален

2. Определение новой базисной переменной.

max(17512.86,19390.96,23459,17450.47,20768.3,0,0) = 23459

x₀ = 0+17512.86x₁+19390.96x₂+23459x₃+17450.47x₄+20768.3x₅

x₆ = 900000-200x₁-350x₂-500x₃-700x₄-900x₅

x₇ = 3298530-12609.19x₁-12219.35x₂-11829.5x₃-11733.65x₄-11637.94x₅

В качестве новой переменной выбираем x₃.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по всем уравнениям для этой переменной: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

Вместо переменной x₇ в план войдет переменная x₃.

4. Пересчет всех уравнений.

Выразим переменную x₃ через x₇

x₃ = 278.84-1.07x₁-1.03x₂-0.99x₄-0.98x₅

и подставим во все выражения.

x₀ = 0+17512.86x₁+19390.96x₂+23459(278.84-1.07x₁-1.03x₂-0.99x₄-0.98x₅)+17450.47x₄+20768.3x₅

x₆ = 900000-200x₁-350x₂-500(278.84-1.07x₁-1.03x₂-0.99x₄-0.98x₅)-700x₄-900x₅

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

x₀ = 6541292.13-7492.34x₁-4841.15x₂-5818.45x₄-2310.82x₅-1.98x₇

x₆ = 760580.33+332.96x₁+166.48x₂-204.05x₄-408.1x₅+0.0423x₇

x₃ = 278.84-1.07x₁-1.03x₂-0.99x₄-0.98x₅-0.0001x₇

Полагая небазисные переменные x = (6, 3) равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (7492.34, 4841.15, 0, 5818.45, 2310.82, 0, 1.98), x₀ = 6541292.1315

Выражение для x₀ не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.

Окончательный вариант системы уравнений:

x₀ = 6541292.13-7492.34x₁-4841.15x₂-5818.45x₄-2310.82x₅-1.98x₇

x₆ = 760580.33+332.96x₁+166.48x₂-204.05x₄-408.1x₅+0.0423x₇

x₃ = 278.84-1.07x₁-1.03x₂-0.99x₄-0.98x₅-0.0001x₇

Оптимальный план можно записать так:

x₆ = 760580.33

x₃ = 278.84

F(X) = 23459.00*278.84 = 6541292.13

Примечание:

1. Число операций в симплекс-методе не превосходит n!/((n-m)!*m!)

2. Решение х системы уравнений, в котором все небазисные переменные равны 0, называется базисным решение.

3. Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то оно называется допустимым базисным решение или опорным планом.