Устойчивость систем.

При проектировании сложных систем возникает вопрос о соответствии реального процесса функционирования системы расчетному. Ответ на этот вопрос даст анализ устойчивости.

Под устойчивостью функционирования подразумевают сохранение некоторого свойства процесса функционирования по отношению к возмущению, или неопределённости, некоторых параметров системы или её м/м. При этом уточняется класс или типы допустимых возмущений.

Большинство результатов теории устойчивости относятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основным объектом будут системы, описываемые системой дифф. уравнений вида:

(*)

В евклидовом пространстве Z и в области их определения Ω Z, при котором выполнены условия существования и единственности.

Метрику пространства (расстояние между точками) Z обозначим через ρ; а z(t,z₀), где t≥0 есть решение (*) с начальным условием t=0, z(0)= z_0.

О/1

Решение (невозмущённое) z(t,z₀) системы (*) устойчиво по Ляпунову, если Θ>0 δ (Θ) такое, что | z₀^|| ρ (z_0, z₀^|)< δ то ρ[z(t,z₀), z(t,z₀^|)] < Θ при t≥0, т.е. устойчивость по Ляпунову системы (*) есть равномерная непрерывная зависимость её решений от начальных данных на длительном интервале времени. Этот анализ устойчивости даёт на вопрос: на сколько отличается возмущённое движение от невозмущённого.

Если дополнительно потребовать, чтобы lim _t→∞ ρ[z(t,z₀), z(t,z₀^|)]=0, то получается определение асимптотической устойчивости.

При этом может быть экспоненциальная гармоническая устойчивость:

Наряду с системой (*) рассмотрим систему

(**)

где R(z,t) – возмущение воздействия.

O/2

Решение z(t,z₀) системы (*) устойчиво, если Θ>0 δ₁(Θ)>0 и δ₂(Θ)>0| z₀^| и , удовлетворяющих условиям:

1. ρ (z_, z₀) < δ₁(Θ)

2. ρ[R(z,t), 0) < δ₂(Θ) при t≥0

ρ[z, z(t,z₀)]<0

имеет место

ρ[z*(t,z₀^|), z(t,z₀)]<Θ при t≥0, где z*(t,z₀^|) – решение уравнения (**) с начальным соотношением z₀^|.

В О/1 сравнивались 2 решения одной и той же системы, а в О/2 – решения двух различных систем.

Рассматриваемый случай является типичным примером действия возмущений на параметры системы, не являющиеся числовыми. Возможны возмущения, когда правая часть уравнения (*) зависит от некоторых числовых параметров (например, F() или R(₁) для (**)). Определения 1 и 2 теряют своё содержание, если рассматривается конечный интервал времени.

О/3

Система обладает практической устойчивостью, если z₀Q₀ и {R()}P имеем: z(t, z₀) Q при t<T≤∞, где Q – множество допустимых состояний; Q₀ – множество допустимых начальных состояний; Р – семейство , которое определяет допустимые постоянно действующие возмущения.

Исследование устойчивости относится к задачам анализа систем. Анализ устойчивости считается завершённым, если на вопрос о том, сохраняет ли система некоторые свойства процесса функционирования при определённых условиях, получен ответ «Да» или «Нет».

Для практических целей это не всегда достаточно. Например, при асимптотической устойчивости обычно интересуются размерами максимальной области в пространстве начальных состояний, в которой ещё справедливо условие: lim _t→∞ ρ[z(t,z₀), z(t,z₀^|)]=0

Эта область называется областью притяжения или областью асимптотической устойчивости.

При практической устойчивости (если процесс вероятностный), т.е. z(t,) называется устойчивым относительно параметров (Q,Q₀), если эту вероятность Р{}. Иногда интересно узнать, при каких значениях невозмущающих параметров сохраняется устойчивость в том или ином смысле. Множество таких значений называется областью устойчивости.

Способы оценки устойчивости.