3.3.5. Распределение Пирсона

Распределение Пирсона с параметрами а, b₀, b₁, b₂ – непрерывное распределение, плотность которого y=f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

где а, b₀, b₁, b₂ - действительные числа.

Кривые распределения Пирсона называют кривыми Пирсона.

Распределения Пирсона классифицированы в зависимости от значений параметров a, b₀, b₁, b₂ и области изменения х. Семейство распределений Пирсона образуют 12 типов и нормальное распределение. Примерами распределений Пирсона являются распределение Стьюдента и хи-квадрат распределение, широко используемые в математической статистике.

Распределения Пирсона используют для описания часто встречающихся на практике распределений.

Впервые распределения Пирсона были применены в 1894 году для приближенного представления эмпирических распределений К. Пирсоном.

3.4. Функции от случайной величины.

Логарифмически нормальное распределение

Иногда на практике возникает необходимость в определении законов распределения функций от случайной величины или функций случайного аргумента.

Функция случайного аргумента Y=g(X) - это случайная величина, функционально зависящая от другой случайной величины, область значения которой есть область значений функции у=g(x) .

Начнем с самой простой функции - линейной. Если Х - случайная величина, подчиненная нормальному закону с параметрами m_x и σ_x, a Y=аХ+b, то случайная величина Y также подчинена нормальному закону с параметрами

Действительно, пусть Х~N(m_x, σ_x); Y=аХ+b.

Тогда функция распределения случайной величины Y

если а>0.

Откуда плотность распределения случайной величины Y

Если а<0, то

Откуда

Итак, для любого

а≠0

Таким образом,

т.e.

Итак, доказано следующее утверждение: линейная функция от аргумента, подчиненного нормальному закону

Y=аХ+b – это случайная величина, также подчиненная нормальному закону, с параметрами где m_x, σ_x - параметры случайной величины X.

Пример 3.18. Если а т.е. если то имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1.

При построении вероятностных моделей встречаются законы распределения случайных величин, представляющих собой нелинейные функции от нормальных случайных величин. В частности, при решении различных экономических, биологических, геометрических, физических задач используют логарифмически нормальное распределение.

Неотрицательная случайная величина Y имеет логарифмически нормальное распределение, если X=lnY имеет нормальное распределение.

Из определения вытекает, что если Y имеет логарифмически нормальное распределение, то она может быть представлена в виде где Х~N(m, σ).

Плотность логарифмически нормального распределения

где m, σ - параметры (σ > 0). График плотности представлен на рис. 3.11.

Пример 3.19. Записать плотность распределения случайной величины Y=e^x,если Х~N(0,1).

Решение: Значение параметров m=0, σ = 1, поэтому плотность случайной величины Y, имеющей логарифмически нормальное распределение, равна

4. Числовые характеристики случайных величин