11. Исследование функции.

12. 1) Отыскивается область определения функции.

Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность. Функция          называется чётной, если         . График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция          - чётная, так как         . Функция называется нечётной, если         . График функциисимметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью          ищется исходя из уравнения         . Ордината пересечение с осью          ищется подстановкой значения          в выражение функции          Если пересечение с осью          найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью          не представляет труда.  4) Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва.Функция          называется непрерывной в точке         , если она определена в этой точке и существует предел         , который равен значению функции. То есть 

.

Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка). График непрерывной функции может быть изображён без отрыва карандаша (мела, пера, ручки,…). Точка          является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки         , а в самой точке не является непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке         . Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

5) Ищутся асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные.

6) Находятся критические точки и интервалы монотонности.

Функция          имеет максимум в точке         , если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку         . Функция          имеет минимум в точке         , если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку         . Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.