![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •1.2 Степенная ( полиномиальная ) аппроксимация
- •1.3 Кусочно―линейная аппроксимация
- •2 Воздействие гармонического колебания на цепь с нелинейным элементом
- •2.1 Постановка задачи анализа
- •2.2 Спектральный состав тока при степенной аппроксимации
- •2.3 Спектральный состав тока при кусочно―линейной аппроксимации
- •3 Нелинейные преобразователи гармонического сигнала
- •3.1 Нелинейный резонансный усилитель
- •3.3 Ограничители мгновенных и амплитудных значений
- •4 Воздействие суммы гармонических колебаний на цепь с нелинейным элементом
- •4.1 Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии
- •4.2 Комбинационные частоты при воздействии суммы синусоидальных колебаний
- •4.3 Преобразователи частоты
1 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Методы аппроксимации
Как правило, ВАХ нелинейных элементов
получают экспериментально, поэтому
чаще всего они заданы в виде таблиц или
графиков. Чтобы иметь дело с аналитическими
выражениями, приходится прибегать к
аппроксимации.
Методы аппроксимации, используемые в линейных цепях, могут быть использованы и для представления характеристик нелинейных цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависимостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).
Обозначим заданную таблично или
графически ВАХ нелинейного элемента
,
а аналитическую функцию, аппроксимирующую
заданную характеристику,
,
где ― коэффициенты этой функции, которые
нужно найти в результате аппроксимации.
В методе Чебышева коэффициенты
функции
находятся
из условия
,
(1)
т.е. они определяются в процессе
минимизации максимального уклонения
аналитической функции от заданной.
Здесь
,
―
выбранные значения напряжения.
При среднеквадратичном приближении
коэффициенты
должны быть такими, чтобы минимизировать
величину
.
(2)
Приближение функции по Тейлору основано
на представлении функции
рядом
Тейлора в окрестности точки
(3)
и определении коэффициентов этого
разложения. Если ограничится первыми
двумя членами разложения в ряд Тейлора,
то, очевидно, речь пойдет о замене сложной
нелинейной зависимости
более
простой линейной зависимостью. Такая
замена называется линеаризацией
характеристик.
Заметим, что первый член разложения (3)
представляет собой постоянный ток в
рабочей точке при
,
второй член
– дифференциальную крутизну вольтамперной
характеристики в рабочей точке, т.е. при
Наиболее распространенным способом
приближения заданной характеристики
является интерполяция (метод
выбранных точек), при которой коэффициенты
аппроксимирующей функции
находятся
из равенства этой функции и заданной
в выбранных точках (узлах интерполяции)
Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определения ее коэффициентов одним из указанных выше методов.
1.2 Степенная ( полиномиальная ) аппроксимация
Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами
.
(4)
Иногда бывает удобно решать задачу
аппроксимации заданной характеристики
в окрестности точки,
называемой рабочей. Тогда используют
степенной полином.
.
(5)
Определить коэффициенты
полинома (4) можно различными способами.
При среднеквадратичном приближении
они находятся из условия
,
где
определяется
формулой (2).
Из математики известно, что минимум
функции нескольких переменных достигается
при равенстве нулю производных функции
по ее параметрам, т.е. при
,
.
Если подставить в формулу (2) выражение
степенного полинома, вычислить производные
l=0, 1 ,… , N,
И приравнять их к нулю, то получим, что
коэффициенты
,
дающие наилучшее среднеквадратичное
приближение, находятся из решения
следующей линейной системы уравнений:
,
.
(6)
При этом число точек u=uk,
в которых оценивается приближение,
может быть гораздо больше числа
коэффициентов
.
Применение метода интерполяции (метода
выбранных точек), когда добиваются
совпадения
и
в
выбранных точках u=uk,
приводит к линейной системе уравнений
,
,
(7)
Из которой и находятся коэффициенты
.
В этом методе число выбранных точек
(узлов интерполяции)
должно
совпадать с числом коэффициентов.
Существуют также способы определения коэффициентов степенного полинома путем минимизации чебышевской погрешности (1), использования разложения в ряд Тейлора и др. Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное воздействие нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.
Пример. На рис 4 кружочками показана
полученная экспериментально характеристика
,
т.е. зависимость тока базы от напряжения
между базой и эмиттером для транзистора
КТ301. Осуществим постепенную аппроксимацию
этой характеристики в диапазоне
от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в
окрестности рабочей точки
.
Коэффициенты
,
,
и
полинома
найдем, используя метод интерполяции.
Выберем в качестве узлов интерполяции
точки, соответствующие напряжениям
,
и составим систему уравнений (7):
Решение этой системы дает,
,
.
Кривая тока
проходит
через три экспериментальные точки,
соответствующие узлам интерполяции
(рисунок 4 кривая 1). Из рисунка видно,
что некоторые экспериментальные точки
(например, при
)
плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме
того, нас не устраивает изгиб в нижней
части характеристики.
Более лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока пройдет через все пять экспериментальных точек.
Однако можно попытаться сохранить
вторую степень полинома и улучшить
аппроксимацию, воспользовавшись
каким―либо другим методом для определения
коэффициентов
,
,
и
.
Попробуем найти эти коэффициенты,
используя среднеквадратическое
приближение тока ко всем пяти
экспериментальным значениям. Составим
уравнения (6):
Решение этой системы уравнений α0 =0,164 мА, α1=1,07 мА/В и α2=2,069 мА/В2.
График тока
показана
на рисунке (кривая 2). Эта характеристика
является, по―видимому, более приемлемой
для аналитического описания
экспериментальных результатов.
Рисунок 4― зависимость
для
транзистора КТ301