Теорема 18 (критерий коллинеарности)
Вектора
и
коллинеарны
.
Доказательство.
Если
и
коллинеарны, то по определению
.
Если
,
то
1) В случае
или
произведение
,
вектора коллинеарны.
2) В случае
и
,
т.е.
.
Значит
или
.
Векторы
и
коллинеарны.
Определение 39
Смешанным
произведением векторов
,
и
называется выражение
.
Обозначение
.
Геометрические свойства смешанного произведения.
Смешанное
произведение векторов
равно объему параллелепипеда, построенного
на векторах
,
отложенных из одной точки, взятый со
знаком «+», если тройка
- правая, со знаком «–», если левая.
Доказательство.
Е
сли
или
или
,
то утверждение выполняется. Если
и
коллинеарны, то
и объем параллелепипеда тоже равен
.
Пусть
и
неколлинеарны. Тогда тройка
является правой.
.
- площадь основания параллелепипеда.
- высота параллелепипеда, поэтому
равен объему параллелепипеда. Если
,
то тройка векторов
- правая и
.
Если
,
то тройка векторов
- левая и
.
Значит
,
где
.
Теорема 19 (критерий компланарности)
Векторы
являются компланарными
Доказательство.
Если векторы
компланарны, то вектор
ортогонален векторам
и
,
а значит ортогонален вектору
.
Если
,
то
Если
,
то
и
коллинеарны.
компланарны. В случае
,
компланарны. В случае, когда
вектор
лежит в плоскости векторов
и
.
Свойства смешанного произведения.
выполняются:
1)
2)
3)
4)
.
Доказательство.
1) Тройки векторов
,
,
- либо все компланарны, либо все
одновременно правые, либо все одновременно
левые. Если они компланарны, то
.
Если одни одновременно правые, то
.
Если они одновременно левые, то
,
где
- объем параллелепипеда, построенного
на векторах
.
2)
.
3) Тройки векторов
и
имеют разную ориентацию и
.
Поэтому
.
4)
Свойства векторного произведения.
Для любых векторов
и любых чисел
выполняются свойства:
1)
2)
3)
Доказательство.
Лемма.
Если
для любого вектора
,
то
.
Доказательство.
Если
,
то
и при
.
Тогда
,
т.е.
,
значит
.
1)
Из свойств смешанного произведения для
всех
.
Поэтому
.
2)
Из свойств смешанного произведения для
всех
Т.е.
для всех
.
Поэтому
.
3) Следует из определения.
Замечание.
Из свойств 1) и 2) легко доказывается (аналогично доказательству для скалярного произведения) линейность векторного произведения по второму аргументу.
Определители Определение 40
Набор элементов
,
где
называется матрицей размерностью
.
Обычно матрицу записывают в виде таблицы.
Для матриц
с элементами из чисел, функций, можно
дать понятие определителя матрицы.
Для матрицы
определителем называется число
.
Обозначается
.
Для матрицы
определителем называется число
.
Обозначается
.
Для матрицы
определителем называется число
.
Обозначается
.
Выражение векторного произведения в ортонормированном базисе.
Пусть
- ортонормированный базис, являющийся
правой тройкой. Тогда
,
и
- правые тройки,
,
и
- левые тройки. Имеем
Для векторов
и
имеем:
Выражение смешанного произведения в ортонормированном базисе.
Пусть
- ортонормированный базис, являющийся
правой тройкой.
Следствие.
Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из их координат равен 0.