Геометрическая интерпретация вероятностного описания случайного процесса.

4. Характеристики случайных функций.

С точки зрения теории вероятностей , описание случайного процесса с помощью законов распределения является наиболее полным, но не всегда оправдано при решении прикладных задач. Чаще всего приходится пользоваться некоторыми числовыми характеристиками случайной функции, которых оказывается достаточно для решения большинства прикладных задач. Простейшими характеристиками случайного процесса являются математическое ожидание (среднее) и дисперсия, которые вводятся как обобщение аналогичных характеристик случайной величины.

Поскольку при каждом фиксированном значении параметра (времени) t случайная функция пpевращается в случайную величину, то числовые характеристики этой случайной величины, в общем случае зависящие от параметра t, можно использовать в качестве числовых характеристик случайного процесса.

Таким образом, математическим ожиданием и дисперсией случайного процесса  (t) называются неслучайные функции m(t) и  (t) , которые при каждом значении аргумента (параметра) t равны математическому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

m(t)=x(x,t)dx

²(t)=(x-m(t))²(x,t)dx

Поскольку t является параметром только для закона распределения (x,t) , то характеристики случайной функции могут изменяться только в том случае, когда при изменении значения параметра t изменяется вид функции (x,t) , т.е. когда от значения параметра t так или иначе зависит комплекс условий, при котором реализуется соответствующая случайная величина (сечение случайной функции (t)).

Рассмотрим некоторые свойства математического ожидания и дисперсии случайной функции (t) . Пусть (t) =₁(t)+s(t), где s(t)- детерминированная функция, ₁(t) - случайная функция с нулевым средним (M[₁(t)]=0) и дисперсией ²(t) , тогда:

m(t)=M[(t)]=M[₁(t)]+s(t)=s(t),

²(t)=M[((t) - s(t))²]=M[₁(t)]=₁(t)²

Если (t)=s(t)₁(t) где ₁(t) - случайный процесс со средним значением M[₁(t)]=m₁(t) и дисперсией ₁(t)² , то

m(t)=s(t) M[₁(t)]=s(t)m₁(t),

(t)²=M[(s(t) ₁(t)-s(t)m₁(t))²]=s(t)M[(₁(t)-m1(t))²]=s(t) ₁(t)

Математическое ожидание и дисперсия не учитывают динамики случайной функции поскольку они определяются видом одномерных законов распределения. Для описания динамики случайной функции вводится автокорреляционная функция (или просто корреляционная функция):

R(t₁,t₂)=[(t₁)(t₂)]=(x₁-m(t₁))(x₂-m(t₂))(x₁,x₂;t₁,t₂)dx₁dx₂,

которая отражает зависимость между сечениями случайной функции, взятыми в моменты времени t₁ и t₂ .

Таким образом, автокорреляционной функцией (АКФ) случайной функции (t) называется неслучайная функция двух аргументов R(t₁,t₂), которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции.

Автокорреляционная функция обладает следующими основными свойствами.

• При t₁=t₂ она обращается в дисперсию случайной функции.

• Так как произведение (t₁)(t₂) =(t₂)(t₁) не зависит от того, в каком порядке берутся сомножители, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов: R(t₁,t₂)=R(t₂,t₁)

• Вместо корреляционной функции R(t₁,t₂) часто используется нормированная корреляционная функция

R(t₁,t₂)

r(t1,t2)= ----------------

(t₁) (t₂)

которая является корреляцией между центрированными и нормированными

случайными величинами

(t₁) (t₂)

--------и-------

(t₁) (t₂).