![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2.Наращение простых процентов
- •3.Сравнение силы роста простых и сложных процентов
- •4. Мультиплицирующие и дисконтирующие множители
- •7.Математическое дисконтирование
- •8.Номинальная ставка
- •10. Влияние инфляции на ставку процента.
- •12. Конечная годовая рента.
- •13.Определение параметров годовой ренты.
10. Влияние инфляции на ставку процента.
Без использования инфляции результаты расчетов денежных сумм являются
весьма условными.
Говорят, что инфляция (темп инфляции) составляет ®% в базовый период
времени, если один и тот же набор товаров в конце базового периода стоит
в (1 + ®) раз больше, чем в начале периода. Другими словами в (1 + ®)
раз уменьшилась покупательная способность одной денежной единицы. Это
показывает, что инфляция уменьшает реальную ставку процента.
Пусть i ставка процента за базовый период времени, ® ставка инфляции
за базовый период времени. Тогда реальная ставка процента j находится из
уравнения 1 + j =
1+i
1+®
.
5Пусть известен темп инфляции ®1 за отрезок времени, k - число вхождений
этого отрезка в базовый период времени, тогда темп инфляции ® за базовый
период времени определяется выражением (1 + ®1)
k = 1 + ®.
Пример. Банк обещает 17% годовых, реальная ставка 5%. Найти годовую и
ежеквартальную инфляции.
Решение. i = 0; 17; j = 0; 05. Годовая инфляция найдется из соотношения
1 + ® =
1+i
1+j = 1; 1143. Годовая инфляция ® = 11; 43%. Зная годовую инфляцию,
найдем ежеквартальную 1+®1 =
p4
1 + ® =
p4
1; 1143 = 1; 0556. Ежеквартальная
инфляция ®1 = 5; 56%.
11.Потоки платежей.
Поток
платежей - это
последовательность величин самих
платежей (со знаками) и моментов времени,
когда они осуществлены.
Платеж
со знаком плюс, который может быть
опущен, – это
поступление, платежи со знаком минус
представляют собой выплаты.
Поток
называется конечным или бесконечным в
зависимости от количества платежей в
нем.
Пусть
={Rk, tk}– поток
платежей, в нем tk - моменты
вмени, Rk – платежи.
Кроме того, предполагается, что известна
ставка процента i,
обычно неизменная в течение всего
потока.
Величиной
потока в момент Т называется
сумма платежей потока, дисконтированных
к этому моменту – (T)=∑Rk(1+i)T–tk
Достаточно
найти величину потока в какой–то
момент, тогда в любой другой момент Т’величина
потока (T)=(T)(1+i)
Т’–T.
Величина
(0) называется современной
величиной потока;
если есть последний платёж, то величина
потока в момент этого платежа
называется конечной
величиной потока.
Пример
1.
Пусть
поток есть ={(–2000,
1); (1000,2); (2000,3)}. Найдем характеристики
этого потока при ставке
процента i=10%.
Сначала
найдем современную величину
потока:
(0)=–2000(1+0,1)–1+1000(1+0,1)–2+2000(1+0,1)–3=–1818,2+826,4+1502,6=510,8.
Теперь можно найти и конечную величину
потока: (3)=(0)(1+i)3=679,8
Поток
положительных платежей с постоянными
промежутками между ними называетсярентой. Часто
сами платежи также являются одинаковыми.
Далее рассматриваются только ренты с
одинаковыми платежами.
12. Конечная годовая рента.
Это
самая простая рента: в ней только один
платеж Rв
год, длительность ее nлет,
годовая процентная ставка i.
На рентные платежи начисляются сложные
проценты.
Пример
2.
Рассмотрим
5-летнюю ренту с годовым платежом 1000
руб., процентная ставка i=10%.
Поясним
движение денежных сумм. В конце 1-го года
в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года
эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет
начисленных 10%. Вместе с очередным
внесенным платежом в 1000 руб. на счете
уже 2100. В конце 3-го года эта сумма
возрастает до 2310 руб. за счет начисленных
10%. Вместе с очередным внесенным платежом
на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная
сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную
величину ренты найдем, дисконтируя к
моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем
6105,1/1,15=3791
Если платежи поступают
в конце очередного промежутка, то рента
называетсяпостнумерандо. Рассматриваемая
рента в примере постнумерандо. В
дальнейшем рассматриваются только
такие ренты.
Изучим подробно
конечную годовую ренту {R,n,i}
в общем виде.
Главная
задача – найти современную величину
этой ренты.
Имеем
A=R/(1+i)+R/(1+i)2+…+R/(1+i)n=R[(1+i) –1+…+(1+i)–n].
В
квадратных скобках стоит сумма nчленов
геометрической прогрессии с первым
членом (1+i)–1
и знаменателем (1+i)–1.
Как известно, сумма nчленов
геометрической прогрессии с первым
членом b1
и знаменателем qравна b1(qn– 1)/(q–1)
или (bnq–b1)/(q–1).
Следовательно, сумма в квадратных
скобках есть [1– (1+i)–n]/i.
И потому современная величина ренты
есть A=R[1–(1+i)–n]/i.
Величина
[1–(1+i)–n]/i обозначается a(n,i)
и называется коэффициентом
приведения ренты.
С учетом этого обозначения
имеем A=R*a(n,i).
Зная
современную величину ренты, можно легко
найти конечную ее величину, которая еще
наращенной величиной ренты S: S=A(1+i)n,
или S=R*a(n,i)(1+i)n=R[(1+i)n–1]/i.
Величина
[(1+i)n–1]/iобозначается s(n,i)
и называется коэффициентом
наращения ренты. С учетом
этого обозначения
имеем S=R*s(n,i).
Величины a(n,i), s(n,i)
связаны
очевидным
соотношением s(n,i)=a(n,i)*(1+i)n
илиs(n,i)=a(n,i)* M(n,i).
Коэффициент
наращения s(n,i)
показывает, во сколько раз наращенная
величина ренты больше ее годового
платежа. Аналогичный смысл имеет и
коэффициент приведения ренты: он
показывает, во сколько раз современная
величина ренты больше ее годового
платежа. Можем дать другое толкование
смысла понятия
«современная
величина ренты»: если в момент 0 положить
в банк современную величину ренты
под i процентов
годовых, то к концу n-го
года она вырастет до наращенной величины
ренты S.
Итак, имеем формулы для конечной годовой
ренты
А=R* a(n,i), S=R*s(n,i).
Эти
формулы формально имеют смысл и для
нецелых п. При
этом надо использовать определяющие
формулы для а(n,i)
и s(n,i)
.
Ниже приведены фрагменты таблиц
коэффициентов приведения и наращения
годовой ренты. Таблицы большого объема
приведены соответственно в приложениях
3 и 4.
Коэффициент приведения годовой ренты a(n,i)=[1–(1+i)–n]/i
Коэффициент наращения годовой ренты s(n,i)=[(1+i)n–1]/i
Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере. Пример 3. Найти современную и наращенную величины годовой ренты с R=1000, n=8, i=8%. Находим по таблицам a(8,8)=5,747, s(8,8)=10,637. Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная – 10,637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим М(8,8)=1,851. Проверка: 5747*1,851=10638.