6.2. Средняя арифметическая величина и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не-сгруппированным данным.

Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:

Торговый центр	А	Б	В	Г	Д
Товарооборот (млн. руб.)	130	142	125	164	127

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на один центр, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

Общий объем товарооборота (млн. руб.)

ИСС = ————————————————————————————

Число торговых центров

Используя приведенные в предыдущем параграфе условные обозначения, запишем формулу:

(5.3.)

С учетом имеющихся данных получим:

В данном случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях, расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Рассмотрим следующий пример:

Таблица 6.1.

Продажа акций АО «Дока – хлеб» на торгах фондовой секции ТМБ «Гермес» 11-17 мая 200а г.

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1 2 3	500 300 1100	1080 1050 1145

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи 1 акции, что можно сделать только используя следующее исходное соотношение:

Общая сумма сделок (руб.)

ИСС = —————————————————————————————

Количество проданных акций

Чтобы получить общую сумму сделок необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:

Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

(6.4.)

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 26,3% (0,263); 15,8% (0,158); и 57,9% (0,579) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования формулы (5.4) получим:

(6.5.)

или

На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные:

Таблица 6.2.

Средние цены оптовых рынков на товар А

Оптовый рынок	Средняя цена (руб./шт.)
1 2	43 41

Можно ли по оптовым ценам определить среднюю цену данного товара по двум рынкам, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы реализации этого товара на двух рынках совпадают. Тогда средняя цена реализации составит 42 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Однако на первом рынке может быть реализовано, к примеру, 100 единиц товара, а на втором – 1000 единиц. Тогда для расчета средней цены потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример:

Таблица 6.3.

Распределение менеджеров корпорации по возрасту

Возраст (лет)	Число менеджеров (чел.)
до 25 25-30 30-40 40-50 50-60 60 и более	7 13 38 42 16 5
Итого:	121

Для определения среднего возраста управленческого персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст менеджера данной корпорации:

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более плотно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

(6.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут незначительно отличаться):

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(6.7.)

Для нашего примера:

(1080 – 1112,9)×500 + (1050 – 1112,9)×300 + (1145 – 1112,9)×1100 = 0

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

(6.8.)

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

или

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при :

,

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

(6.9.)

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 100 руб., то средний курс также увеличится на 100 руб.:

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

(6.10.)

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 1,5 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 50%:

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(6.11.)

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.