Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.

Определение: Функция называется строго возрастающей на отрезке [a,b], если для любых точек , из [a,b], удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство.

Определение: Функция называется неубывающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется строго убывающей на отрезке [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется невозрастающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Пример:

Если убывает на и на , то нельзя говорить, что убывает на .

Теорема 1: (необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Если функция возрастает (неубывает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство:

Теорема доказана.

Пример: возрастает в 0 и

Теорема 1’: (необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )

Если функция убывает (невозрастает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство – аналогично теореме 1.

Теорема 2: (достаточное условие возрастания)

Если функция дифференцируема в и , то возрастает в точке .

Доказательство:

возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: Если в точке , то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя.

Билет 16

Достаточные условия экстремума.

Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в , f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.

Доказательство:

Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.

- max

- min

Теорема доказана.

Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)

Если в f()=0, f’’()>0 – min; f’’()<0 – max

Доказательство:

f’()=0, существует f’’()=> f’ определена в U()

f’(x) в точке возрастает(f’’()>0)

f’(x) в точке убывает(f’’()<0)

1) f’’()>0 f’(x) возрастает, f’()=0 =>

при x<

при x< => – точка минимума

2) Аналогично для f’’()<0…

Билет 17

Формула Тейлора для многочленов.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

(1)

Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим

(2)

Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .

Подставим в выражение (2) , получим

(3)

Найдем последовательные производные и подставим в ним

Таким образом, многочлен может быть представлен в виде

или

Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .

Билет 18

Формула Тейлора для дифференцируемых функций.

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен - это многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке a. Обозначим за - на сколько многочлен отличается от самой функции. называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))

Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.

Представим в виде:, где р – произвольное число, H – некоторая функция, зависящая от x.

Рассмотрим функцию :

Рассмотрим F(u) на [a,x]: F(u) непрерывная на [a,x], дифференцируема на (a,x), F(x)=F(a) по теореме Ролля

; продифференцируем:

- и почти все взаимно уничтожается.

, тогда

; Подставим теперь p:=n;

- это остаточный член в форме Лагранжа. Подставим теперь p:=1

- это остаточный член в форме Коши.

Рассмотрим форму Лагранжа:

Пусть теперь f имеет непрерывную n-ю производную в точке а. Это означает, что на [a,x) функция n раз дифференцируема. Значит f(x) можно представить в виде:

;

, т.к. производная непрерывна. Тогда можно представить в виде:

;

- это формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Теорема

Если функция n-1 раз дифференцируема на [a,x], n раз на (a,x), то она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши. Если функция f(x) имеет непрерывную n-ю производную в точке а, то в окрестности точки а она раскладывается по формуле Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Коши и Пеано.

Теорема (о единственности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано)

Если , то , - коэффициенты из формулы Тейлора. Т.е. если есть какие-то другие коэффициенты , то они тоже есть коэффициенты из формулы Тейлора:

Доказательство.

Устремим , получим, что , т.к. ; тогда

сократив на , получим:

и опять же если .

И так мы можем проделать до n-го коэффициента. Теорема доказана.

Билет 19