3. Средние величины, показатели вариации и распределения

1. Задание

Для анализа рядов распределения рассчитайте средние величины (среднюю арифметическую, моду, медиану), выборочные показатели вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) и показатели распределения (коэффициенты асимметрии и эксцесса).

2. Расчетное задание

Средняя арифметическая является наиболее распространенной среди средних величин. Ее применяют в тех случаях, когда даны отдельные объекты с индивидуальными значениями признаков, выраженными абсолютными показателями. Среднюю арифметическую определяют как отношение суммы индивидуальных значений признаков к их количеству.

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Среднюю арифметическую простую применяют в случае, если индивидуальные значения признака в совокупности встречаются по одному разу, а взвешенную  если индивидуальные значения признака представлены несколькими объектами.

Среднюю арифметическую простую определяют по формуле:

,

где  средняя;

х  варианты;

n  число вариант.

Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

,

где f  частота вариант.

Средняя арифметическая величина, описанная выше, является обобщающей характеристикой совокупности по тому или иному признаку. Вспомогательными характеристиками являются, так называемые, структурные средние, к которым относятся мода, медиана и др. Наиболее употребляемыми являются мода и медиана.

Мода  это величина, которая встречается в совокупности наиболее часто, то есть признак с наибольшей частотой. Этот показатель используется в тех случаях, когда требуется охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака (наиболее распространенный размер животноводческих ферм на сельскохозяйственных предприятиях, преобладающие цены на сельскохозяйственную продукцию и т. п. ).

Медианой называется величина, делящая численность упорядоченного вариационного ряда (расположенного в порядке возрастания или убывания признака) на две равные части. Медиана характеризует количественную границу значений изменяющегося признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Например, если медианное значение удоя коровы составляет 4735 кг, то это означает, что половина коров имеет удой молока ниже 4735 кг и половина коров выше.

В дискретном вариационном ряду модой является признак с наибольшей частотой. Медианой является признак с номером, который находят путем деления суммы частот упорядоченного вариационного ряда на два и добавления 0,5.

В интервальном вариационном ряду моду находят по формуле:

,

где Мо  мода;

х_Мо  нижняя граница модального интервала;

h_Мо  величина модального интервала;

f_Мо  частота модального интервала;

f_Мо-1  частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1  частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой.

Формула расчета медианы в интервальном вариационном ряду:

,

где Ме  медиана;

х_Ме  нижняя граница медианного интервала;

h_Ме  величина медианного интервала;

 сумма частот;

s_Ме−1  сумма частот, накопленных в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме  частота медианного интервала.

Медианным интервалом является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Для измерения вариации применяют различные показатели, из которых основными являются размах вариации (лимит), среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Дисперсию рассчитывают как среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от средней арифметической:

простая ;

взвешенная ,

где  дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

простое ;

взвешенное ,

где  среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине:

,

где  коэффициент вариации.

Коэффициент асимметрии для выборки рассчитывается по формуле:

где A_s – коэффициент асимметрии;

– момент третьего порядка;

– выборочное среднее квадратическое отклонение;

n – число вариант.

Показатель эксцесса для выборки рассчитывается по формуле:

или ,

где – эксцесс;

– момент четвертого порядка.