6. Ряды Тейлора
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные любого порядка (бесконечно дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд
(при этом полагаем ).
Теорема 10. Если степенной ряд в некотором интервале сходится к функции f(x) (то есть ), то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x), то есть . Тогда получим
. (7)
Не для всякой бесконечно дифференцируемой функции f(x) ряд Тейлора этой функции сходится к f(x). Достаточное условие для этого даёт следующая теорема.
Теорема 11. Если f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и существует такая постоянная величина M , что для любых n N и x из этой окрестности , то f(x) разлагается в ряд Тейлора:
.
Известны следующие разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (в скобках указана область сходимости ряда):
, ;
, ;
, ;
, (;
, (;
, (;
, (;
, (.
Пример 11. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x.
Решение. 1 способ. Разложить функцию по степеням x означает, что её нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0= 0. Для этого найдём производные заданной функции и их значения в точке
x0 = 0. Займёмся этим.
, ;
;
,
;
, ;
. . . . . . . . .
; .
Найденные значения подставим в (7), это даст нам требуемое разложение f(x) по степеням x:
.
2 способ. Воспользовавшись записанными выше разложениями функций и sinx, имеем
Замечание. В последнем примере мы поставили знак равенства между самой функцией и её рядом Тейлора. Вообще говоря, это требует обоснования. Сформулируем ещё одно достаточное условие для сходимости ряда Тейлора функции f(x) к самой функции f(x) (более сильное, чем теорема 11).
Теорема 12. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке и бесконечно дифференцируема на . Обозначим . Если
, (8)
то ряд Тейлора функции f(x) на промежутке равномерно сходится к f(x):
.
При этом . (9)
Покажем, что для функции из примера 11 выполняется условие (8) при любом конечном . Действительно, , отсюда . Несложно доказывается, что
,
откуда и следует справедливость вышеупомянутого равенства.
Пример 12. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя разложения основных элементарных функций.
Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, преобразуем таким образом, чтобы выделить выражение :
.
Тогда
,
где . Теперь воспользуемся разложением в ряд Тейлора для функции при :
, .
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости .
При получаем знакочередующийся ряд , сходящийся согласно признаку Лейбница. При получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Таким образом, полученный степенной ряд сходится на промежутке .
Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , используя разложение основных элементарных функций.
Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом:
.
Воспользовавшись известными разложениями в ряд Тейлора функций и , получим
Так как ряды Тейлора для cosx и sinx сходятся при любых значениях x, то и полученный ряд функции f(x) будет сходиться для любых x.
Пример 14. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , используя разложение основных элементарных функций.
Решение. Заданную функцию разложим на сумму простейших дробей:
.
Полученные слагаемые можно представить в виде
=
,
.
Отсюда
.
Осталось выяснить интервал сходимости последнего ряда. Он является пересечением областей сходимости рядов Тейлора для функций и , то есть множеств, задаваемых неравенствами и . Это пересечение даёт .
Пример 15. Найти первые четыре ненулевые члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд
, .
Решение. Будем предполагать, что неизвестная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, представима степенным рядом
, (11)
коэффициенты которого определяются путём последовательного дифференцирования исходного уравнения и подстановкой в него и найденных позже значений . Итак, имеем: ,
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, .
Осталось подставить найденные значения в ряд (11):
,
.