15 Основные понятия теории игр

Во многих задачах приходится сталкиваться с ситуацией принятия решения в условиях неопределенности.

Неопределенности могут быть как результатом выполнение операции, так и сознательных действий противника конкурента.

При решении практических задач приходится анализировать такие ситуации, когда результат какого-либо мероприятия зависит от того, какие действия предпримет соперник. Такие ситуации называются конфликтными.

Теория игр – это математический аппарат конфликтных ситуаций, позволяющий выбрать рекомендации по рациональному действию участников конфликта.

Игрой называется модель конфликтных ситуаций с использованием математических правил. Отличие от реальной конфликтной ситуации в том, что игра ведется по определенным правилам. Примерами таких игр могут быть: шашки, шахматы и др.

Игра с нулевой суммой называется игра, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой.

Правило игры – это система условий регламентируемая:

• возможные варианты действий игроков;

• объем информации каждой стороны о поведение другой;

• результат игры, к которой приводит каждая данная совокупность ходов.

Обозначим a выигрыш игрока A, и b выигрыш игрока B. В дальнейшем будем себя ассоциировать игроком A.

Так как игра рассматривается с нулевой суммой, то a=-b. B – противник (конкурент).

Ходы бывают случайные и личные.

Случайным называют ход, когда выбор из ряда возможностей осуществляется не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, карты).

Стратегией игры называется совокупность правил, определенных выбором варианта действий, при каждом личном исходе игрока в зависимости от ситуации сложившейся в ходе игры.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, в противном случае игра называется бесконечной.

Оптимальной называется стратегия, если она при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основой при выборе стратегии является предположение, что противник, по меньшей мере, также разумен, как и мы, сами и делает все возможное для того, чтобы помешать «нам» добиться своей цели.

Поэтому в теории игр не учитываются просчеты игроков, элементы риска и азарта.

16 Платежная матрица

Рассмотрим конечную игру, в которой игрок A имеет m-стратегий, а игрок B-конкурент n-стратегий. Такая игра называется m x n игрой. Стратегии: A1, A2, …, Am; B1, B2, …, Bn – конкурент.

Предположим, что «мы» выбрали стратегию Ai, а конкурент стратегию Bj. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий Ai и Bj однозначно определяют исход игры: «нам» выигрыш , которое может быть как больше нуля, так и меньше нуля.

Если игра состоит как из личных, так и из случайных ходов, то выигрыш при паре Ai и Bj – есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае оценка выигрыша является математическим ожиданием случайного выигрыша.

Предположим, что нам известно при каждой стратегии. Эти значения можно записать в виде таблицы (матрицы):

Ai/Bj	B1	B2	…	Bn
A1			…
A2			…
…	…	…	…	…	…
Am			…

Такая таблица называется платежной матрицей или матрицей игры.