5. Предрасчет точности измерений

В практике геодезических работ, особенно на стадии составления проектов, возникает необходимость рассчитать точность предстоящих измерений, пользуясь теорией ошибок. При этих расчетах по известному виду функции требуется рассчитать точность измерения каждого аргумента. В таких случаях применяют принцип равных влияний, суть которого состоит в требовании равенства слагаемых в формуле средней квадратической ошибки функции общего вида.

Пример. Превышение получено по формуле h = . Требуется рассчитать, с какой точностью должны быть измерены расстояние (l = 120 м) и угол наклона (v = 4º00´), если h необходимо получить со средней квадратической ошибкой m_h = ±4,0 см. Рассматривая формулу превышения как функцию общего вида, находим:   . (15)

 Применим принцип равного влияния, то есть потребуем, чтобы влияние ошибок измерений расстояния l и угла v было одинаковым: , откуда и ;

 подставив в формулы значения величин, получим:   см или ;

  .

 Как видно из полученных результатов, необходимая точность получения превышения достигается теодолитом 2Т-30 с использованием нитяного дальномера или кипрегелем.

Задача для самостоятельного решения студентами по вариантам.

Площадь прямоугольника со сторонами а = 200 м, b = 160 м, требуется определить со средней квадратической ошибкой m, не превышающей 4 м². Следует рассчитать, с какой точностью необходимо измерять стороны прямоугольника, чтобы обеспечить заданную точность определения площади.

S = a b, или, применив принцип равных влияний, получим:

;

 

  м.

 Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что для обеспечения точности определения площади с m_S = 4 м² необходимо измерять длины линий с точностью ≈ ±3 см.

Для решения задачи самостоятельно каждый студент прибавляет к длинам а и b номер своего варианта, соответствующий порядковому номеру в журнале группы. 

6. Абсолютные, относительные и допустимые ошибки

Абсолютными называют ошибки: среднюю квадратическую, среднюю, вероятную, истинную.

Относительной ошибкой называют отношение соответствующей абсолютной ошибки к результату измерений. Относительная ошибка выражается дробно с числителем, равным единице. Например, средняя квадратическая ошибка

m_b = 0,18 м, b = 485,0 м, тогда

 Знаменатель относительной ошибки принято округлять до двух значащих цифр с нулями. При линейных измерениях в теодолитных и полигонометрических ходах знание абсолютной ошибки не позволяет сделать вывод о надежности измерений, поэтому здесь необходимо знание относительной ошибки. Например, в двух теодолитных ходах получена одинаковая абсолютная ошибка f_абс = 1,00м. Длина первого хода 800 м, а второго 2500 м.

Найдя относительные ошибки и , можно сделать вывод, что в первом ходе ошибка

недопустима, и измерения нужно повторить заново, а точность второго хода вполне допустимая, так как допустимая ошибка в теодолитном ходе – .  

Для установления допустимых невязок для различных геодезических измерений применяют свойства случайных ошибок, характеризующихся законом нормального распределения Гаусса. При достаточно большом числе измерений отдельная случайная ошибка может быть больше удвоенной средней квадратической ошибки в 5 случаях из 100 и больше утроенной средней квадратической – в 3 случаях из 1000.  

Поэтому маловероятно, чтобы случайная погрешность отдельного измерения получилась бы больше утроенной средней квадратической.  

Следовательно, утроенную среднюю квадратическую ошибку можно принять за предельную (допустимую), то есть ∆_пред = 3m  

Однако в практике геодезических измерений за предельную часто принимается удвоенная средняя квадратическая ошибка (с риском на 5%), то есть ∆_пред = 2m.  

Для установления допустимой невязки для функции общего вида учитывают точность результатов измерений и их корреляционные связки. Допустимую невязку получают по формуле: ∆_пред = 2,57m, где 2,57 — коэффициент, соответствующий вероятности Р = 0,99 при нормальном распределении ошибок, m – средняя квадратическая ошибка функции.

Наиболее надежным путем установления допусков для внутренней сходимости измерений и для невязок является анализ достаточно обширного производственного материала и на его основе вывод о соответствующих характеристиках случайного и систематического влияния.