- •Содержание
- •Задание
- •Факториальная система счисления
- •Непозиционные системы счисления
- •Биномиальная система счисления
- •Система остаточных классов (сок)
- •Системы счисления разных народов
- •Древнеегипетская система счисления
- •Еврейская система счисления
- •Система счисления майя
- •3) Построить таблицы сложения и умножения для 16-ой системы счисления
-
Факториальная система счисления
В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов bk = k!, и каждое натуральное число x представляется в виде:
, где .
-
Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.
-
Биномиальная система счисления
Представление, использующее биномиальные коэффициенты
, где .
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.
Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинациистепеней числа b:
, где ak — это целые числа, называемыецифрами, удовлетворяющие неравенству .
Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентомразряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
1 - единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);
2 - двоичная (в дискретной математике, информатике, програмировании);
3 - троичная;
4 - четвертичная;
5 - пятеричная;
8 - восьмеричная;
10 - десятичная (используется повсеместно);
12 - двенадцатеричная (счёт дюжинами);
16 - шестнадцатеричная
60 – шестядесятеричная
-
Система остаточных классов (сок)
Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета. СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M − 1] ставится в соответствие набор вычетов , где
…
При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M − 1].
В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M − 1].
Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .Система счисления Штерна-Броко
Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.