22.2. Диадное вейвлет - преобразование.

Диадное вейвлет-преобразование (DWT) одномерных сигналов в системе Mathcad выполняется вейвлетом Добеши четвертого порядка db4 функциями прямого преобразования S := wave(s) и обратного s := iwave(S). Значения параметров а и b задаются в виде степенных функций:

a = а_о^-m, b = k·а_о^-m, a_o = 2, m, k  I,

где I – пространство целых чисел, m – параметр масштаба, k – параметр сдвига. Базис пространства L²(R) в дискретном представлении:

_mk(t) = |а_о|^-m/2(а_о^-mt-k), m,k  I, (t) Î L²(R). (22.2.1)

Вейвлет-коэффициенты прямого преобразования:

C_mk =s(t)_mk(t) dt. (22.2.2)

Вейвлет Добеши относится к числу ортогональных вейвлетов и обратное преобразование для непрерывных сигналов при нормированном ортогональном вейвлетном базисе пространства:

s(t) = C_mk_mk(t). (22.2.3)

Уровень декомпозиции. Число использованных вейвлетов по масштабному коэффициенту m задает уровень декомпозиции сигнала, при этом за нулевой уровень (m = 0) принимается уровень максимального временного разрешения сигнала, т.е. сам сигнал, а последующие уровни (m > 0) образуют вейвлет-дерево (от коротких вейвлетов к длинным, или, по средней частоте вейвлетов, от высоких частот к низким).

Учитывая диадность преобразования, размер Т (в единицах t, t := 0..T-1) дискретного массива s_t должен задаваться кратным 2^M, где M – число уровней декомпозиции сигнала (m := 1..М), при этом отсчет уровней детализирующих коэффициентов спектра начинается с m=1 (минимальный масштабный коэффициент вейвлета а=2), до m=M (a=2^M). На последнем M-уровне записывается 1 детализирующий коэффициент и дополнительно конечный аппроксимирующий коэффициент. Общее количество отсчетов спектра равно количеству отсчетов сигнала. Если количество отсчетов сигнала на удовлетворяет условию 2^M, то выполняется либо передискретизация сигнала с уменьшением шага t, либо дополнение интервала Т сигнала до ближайшего большего значения 2^N. Обычно используется второй способ, т.к. с учетом односторонней формы вейвлета Добеши для исключения искажений спектра требуется задание начальных условий. Методы дополнения сигналов не отличаются от задания начальных условий при выполнении свертки сигналов.

Структура записи спектра. Все коэффициенты спектра записываются в массив спектра в следующем порядке. Размер каждой строки (уровня декомпозиции m = 1..M) занимает 2^M/2^m отсчетов. Каждая m – строка коэффициентов уровня начинается в массиве спектра с номера 2^M-m.

Рис. 22.2.1.

На рис. 22.2.1. приведен график вейвлетного разложения импульса Кронекера в точке t=3 массива размером 128 отсчетов.

На рис. 22.2.2 приведен график модельного сигнала s_t с двумя перекрывающимися во времени синусоидами. Для просмотра коэффициентов вейвлет-преобразования S сигнала раздельно по уровням декомпозиции m можно использовать функцию формирования субматрицы c(m) = submatrix(S, r1, r2, p1, p2), которая записывает в строки m из вектора S отсчеты с номера r1 по r2 (из столбцов с p1 по p2, в данном случае столбцов нет). Пример применения функции можно видеть на рисунке.

Рис. 22.2.2.

Рис. 22.2.3.

Визуализация спектра. При визуализации картины коэффициентов субматрица переводится в двумерный массив с приведением к единой числовой оси входного сигнала (растягивание коэффициентов по оси сдвигов без изменения их значений), как это показано на рис. 22.2.3. Это позволяет выводить в графической форме только наиболее информативные уровни разложения, а также представлять вейвлетный спектр в 2D и в 3D форме (рис. 22.2.4).

В силу диадности преобразования выразительность вейвлетного спектра DWT существенно уступает CWT и DCWT, но сохраняет все частотно-временные особенности сигналов и, что наиболее существенно, позволяет производить изменения (определенную обработку) сигнала на разных уровнях декомпозиции и выполнять обратное преобразование без потерь информации.

Рис. 22.2.4.

Качество визуализации спектра может быть улучшено при переводе субматрицы на единую временную ось с применением методов интерполяции. В качестве примера приводится листинг подпрограммы интерполяции коэффициентов спектра с использованием кубического сплайна. Результаты применения интерполяции можно наглядно видеть на рис. 22.2.5 при сопоставлении с рисунками 22.2.3 и 22.2.4.

Рис. 22.2.5.

Рис. 22.2.6.

Форму вейвлета db4 и средние частоты уровней декомпозиции (масштабов вейвлета) можно определить обратным преобразованием импульса Кронекера, задаваемого на какой-либо уровень декомпозиции спектра, при обнулении всех других уровней спектра. Пример операции приведен на рис. 22.2.2.

Для более точного вычисления формы вейвлета число уровней декомпозиции следует устанавливать достаточно большим (N = 8-12), а импульс Кронекера в массиве спектра задавать на 2-3 уровня меньше М и на 2-3 точку интервала отсчетов этого уровня. Восстановленный при обратном преобразовании массив отсчетов вейвлета можно с использованием БПФ перевести в спектральную область и определить среднюю частоту вейвлета (с учетом вывода вейвлета на K/2 точек временной оси). При известной средней частоте вейвлета на m-уровне декомпозиции _m, частотная шкала разложения при переходе на 1 уровень ниже возрастает в 2 раза, а на 1 уровень выше – в 2 раза уменьшается. Соответственно, частотная шкала 1-го уровня (максимальная частота декомпозиции) по измерениям средней частоты вейвлета на m-уровне определяется выражением:

₁ = _m 2^m-1,

и для вейвлета db4 составляет 2.356 радиан. Соответственно, на любом другом i-уровне:

_i = ₁/2ⁱ.

Аналогичным образом, при занесении единицы на нулевую точку вейвлетного спектра S может быть вычислена смещенная форма скейлинг-функции в ненормированном виде.