- •220701 – Менеджмент высоких технологий
- •Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования
- •Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей
- •Тема 3. Структуризация производственных систем как
- •Тема 4. Методы системного моделирования
- •Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем
- •Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации
- •Тема 7. Методы алгоритмического моделирования
- •Тема 8. Балансовые модели
- •Тема 9 Распределительные модели
- •4. Содержание разделов и тем дисцисплины
- •Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования
- •Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей
- •Тема 3. Структуризация производственных систем как основа
- •Тема 4. Методы системного моделирования
- •Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем
- •Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации
- •Тема 7. Методы алгоритмического моделирования
- •Тема 8. Балансовые модели
- •Тема 9. Распределительные модели
Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации
Цель: ознакомить студентов с методами преодоления про-
блемы многокритериального выбора. Получит навыки поиска не-
формального компромисса для решения многоцелевых моделей с
использованием дисплейного образа.
Эффективность функционирования экономических систем
любой степени сложности оценивается рядом технико-
экономических показателей. В этих условиях совершенно оче-
видно, что относительно высокое значение одного или даже не-
скольких _______показателей в таких системах вовсе не означает, что эти
экономические системы работают лучше других, так как уровень
остальных показателей у них может быть ниже, чем в других сис-
темах. Трудность выбора решения в условиях многоцелевой оп-
тимизации определяется не столько количеством критериев опти-
мизации и, тем более, вариантов решения, сколько их противоре-
чивостью.
В условиях естественной противоречивости критериев опти-
мальности, когда, в общем случае, невозможно обеспечить опти-
мальные значения по всем критериям одновременно, возникает
52
желание найти такой план, для которого была бы в определенном
смысле наилучшей совокупность этих значений по всем критери-
ям вместе взятым. Такие планы называют оптимальными компро-
миссными.
Идею поиска оптимального компромиссного плана рассмот-
рим на простейшем примере оптимизации двумерного критерия
f(x) = {f1(x), f2(x)} ® max, каждая составляющая которого пред-
ставляет функцию от одной переменной х, определенной на неко-
тором закрытом интервале [a, b]. Графики изменения составляю-
щих f1(x) и f2(x) представлены на рис. 6.1.
Очевидно, что поиск оптимального компромиссного плана в
данном конкретном примере целесообразен лишь на множестве
точек интервала [c, d], так как вне этого интервала решение может
быть улучшено сразу по обеим целевым функциям. План Х1 будем
считать лучше (предпочтительнее) плана Х2 и обозначать Х1 f Х2,
если хотя бы по одной компоненте целевой вектор-функции fs(X1) >
fs(X2), а по остальным компонентам fs(X1) ³ fs(X2). Это так называе-
мое улучшение по Парето
*, формулируемое очень просто: Следу-
ет считать, что любое изменение, которое никому не причиняет
убытков и которое приносит кому-то пользу (по их собственным
оценкам), является улучшением.
f1(x),
f2(x)
f1(x)
f2(x)
a c d b x
x2
x opt 1
opt
· · · ·
Рис.6.1. Иллюстрация определения оптимального
компромиссного плана:
* Вильфредо Парето (1848–1923) – ученик Леона Вальраса и его преемник на ка-
федре политической экономии Лозанского университета.
53
[c,d] – компромиссная область
Интервал [c,d] носит название множества Парето, или мно-
жества эффективных планов, и характеризуется теми важными
свойствами, что на нем ни одно решение не может быть улучшено
ни по одному из критериев без ущерба для других критериев.
Таким образом, множество Парето – это множество допустимых
планов, ни один из которых не может быть улучшен:
p ={X / $Y f X}.
Множественность эффективных планов является следствием
«взаимозаменяемости» (взаимокомпенсации) скалярных критери-
ев, позволяющей увеличивать одни компоненты за счет уменьше-
ния других. В этих условиях каждый эффективный план по-своему
исчерпывает возможность оптимизируемой экономической систе-
мы, реализуя определенный компромисс между частными целями.
Таким образом, если принципы выделения множества эффектив-
ных планов строго научны, не требуют какого-либо постулирова-
ния и, следовательно, лишены элементов произвола и субъекти-
визма, то определение на этом множестве оптимального компро-
миссного плана требует постулирования той или иной схемы ком-
промисса.
Многие специалисты считают поэтому, что более эффектив-
но было бы предоставить лицу, принимающему решение (ЛПР),
полное множество эффективных планов, по которым ЛПР на ос-
новании имеющегося опыта, здравого смысла и других, не под-
дающихся формализации процедур, выберет единственное реше-
ние.
С учетом этого на практике пользуются обычно некоторым
набором схем выбора компромиссного решения. Рассмотрим ос-
новные наиболее часто используемые в практических расчетах
схемы.
Метод последовательных уступок
1. Расположить критерии по убыванию их значимости.
2. Решить задачу по первому критерию ( ) 1 f x , то есть отыскать
субоптимальное
* решение ( ) . 1
opt
1
opt
1 f Х = F
* Субоптимальное решение – оптимальное решение по одной из частных целевых функ-
ций.
54
3. Сделать «уступку» по первому критерию, т. е. уменьшить
величину F1 до значения 1 1,
уст
1 F = k F 0 1 1 £ k £ .
4. Ввести в модель дополнительное ограничение
уст
f1 (x) ³ k1F1 = F1 .
5. Решить задачу по второму критерию ( ) 2 f x , т. е. найти су-
боптимальное решение ( ) opt
2
opt
f2 Х ** = F2.
6. Сделать уступку по второму критерию
2 2 ,
уст
2 F = k F 0 1 2 £ k £ .
7. Ввести в задачу дополнительное ограничение
уст
f 2 (x) ³ k2F2 = F2 .
8. Решить задачу по третьему критерию ( ) 3 f x
3
opt
3
opt
3 f (Х ) = F и т. д.
Субоптимальный план, найденный при решении последней
задачи, является оптимальным компромиссным планом в данной
схеме компромисса.
Ниже на рис. 6.2. приводится наглядная графическая иллюст-
рация данного метода для случая трех целевых функций. Метод
последовательных уступок, являясь чрезвычайно простым и по-
нятным в реализации, обладает, тем не менее, целым рядом недос-
татков, основными из которых являются:
1. Сложность и субъективизм в ранжировании критериев.
2. Субъективизм в задании величин уступок.
3. Степени достижения оптимума (безусловного) по всем
критериям, кроме первого, неопределены. Рассчитать их можно,
лишь решив исходные модели по соответствующим целевым
функциям (еще (S -1) задач) на глобальный оптимум.
** Обращаем внимание читателей на то, что для всех целевых функций, начиная со вто-
рой, оптимальные решения являются условными (в условиях сделанных ранее уступок).
55
·
F 1
·
x 2
X 1
o p t
·
x 1
F2
уст
F2
F 1
у с т
o p t
к о м п р X
· X 2
o p t
·
X 3
o p t
Рис. 6.2. Графическая иллюстрация метода последовательных
уступок
4. Поскольку уступка по последнему критерию не делается,
степень достижения оптимума по нему может оказаться совер-
шенно неудовлетворительной. Для «исправления» плана в этом
случае все расчеты должны быть повторены с другими (причем не
гарантирующими нужных окончательных результатов) коэффици-
ентами уступок.
Метод минимизации суммы относительных степеней
достижения цели
*
Общий вид модели, формализующей данную схему компро-
мисса, будет следующим:
-
- + - + +
s
s s
F
F f x
F
F f x
F
F f x ( )
...
( ) ( )
min
2
2 2
1
1 1
при g x b i i i ( ) £ ," ,
где s F – лучшее, оптимальное _______значение целевой функции s (s =1,S );
f (x) s – текущее значение целевой функции s ( s =1,S ).
* Данная схема компромисса представляет собой по существу формализованную
интерпретацию основного закона социализма, сформулированного И. Сталиным: «Обес-
печение максимального удовлетворения постоянно растущих материальных и культур-
ных потребностей всего общества путем непрерывного роста и совершенствования со-
циалистического производства на базе высшей техники» (Сталин И. Экономические
проблемы социализма в СССР. – М.: Госполитиздат, 1952).
56
Основным недостатком данной схемы является взаимоком-
пенсация влияния локальных целевых функций (показателей) на
целевую функцию глобальной модели.
Для устранения данного недостатка в модель должны быть
добавлены дополнительные ограничения, «следящие» за тем, что-
бы по определенному набору локальных целевых показателей не
были получены их недопустимые минимальные уровни.
Метод минимизации равных относительных степеней достиже-
ния цели
Если под компромиссным решением понимать такой план,
который по каждому целевому показателю обеспечивает одинако-
вые относительные отклонения от оптимальных решений, то соот-
ветствующая математическая модель, позволяющая найти это ре-
шение, будет иметь вид
-
- = - = =
s
s s
F
F f x
F
F f x
F
F f x ( )
...
( ) ( )
min
2
2 2
1
1 1
при g x b i i i ( ) £ ," .
Читателю предлагается самостоятельно привести модель к
линейному виду, считая, что целевые функции и функции затрат
всех ресурсов линейны.
Недостатки метода:
1. Уравнительный характер искомого компромиссного плана.
2. Наихудший (по степени достижения цели) показатель оп-
ределяет результаты по всем остальным компонентам целевой
вектор-функции.
Метод максимизации минимальной относительной степени дос-
тижения цели
Свободным от недостатков рассмотренных выше методов яв-
ляется метод, в котором компромисс формализуется как поиск ре-
шения, максимизирующего по всем показателям относительную
минимальную степень достижения цели.
Рассмотрим эту схему компромисса более подробно.
I этап. Все критерии делаются «однонаправленными», на-
пример, решаемыми на максимум. Достигается это изменением
знака на обратный в целевых функциях, соответствующих мини-
мизируемым показателям.
Получаем модель
57
f (x) = { f1(x); f 2 (x); ...; f s (x)}® max
при g x b i i i ( ) £ ," .
II этап. Исходная модель решается по каждой целевой
функции в отдельности, а результаты решения сводятся в таблицу
следующего вида:
Целе-
вые
функ-
ции
Оптимальные
планы
Целевые функции
f1(x) f2(x) … fs(x)
f1(x) opt
X1 ( ) opt
f1 X1 ( ) opt
f2 X1 … ( ) opt
1 f s X
f2(x) opt
X 2 ( ) opt
f1 X2 ( ) opt
f2 X2 … ( ) opt
2 f s X
… … … … … …
fs(x) opt
X s ( ) opt
f1 X s ( ) opt
f2 X s … ( ) opt
f s X s
Fs – max по столбцу F1 F2 … Fs
fs – min по столбцу f1 f2 … fs
Ds = Fs – fs D1 D2 … Ds
III этап. При решении одноцелевых задач «автоматически»
отыскивается наибольшая степень достижения цели. В случае же
многоцелевой оптимизации, как уже отмечалось, степень дости-
жения абсолютного оптимума не может быть наибольшей по всем
критериям сразу, а, следовательно, возникает проблема ее измере-
ния. В абсолютном измерении степень достижения цели по пока-
зателю s может быть рассчитана по формуле ( ( ) ) s s f x - f , т. е. как
степень удаления текущего значения функции от наименьшего ее
значения (от найденных субоптимальных планов). Графически это
выглядит следующим образом.
Поскольку компоненты целевой вектор-функции задаются в
различных единицах и масштабе, то для сопоставления различ-
ных степеней достижения цели при поиске компромиссного пла-
на их необходимо нормировать.
Нормирование степени достижения оптимума по критерию s
можно осуществить следующим образом:
s
f x f
x s s
s D
-
j = ( )
( ) , 0 £ (x) £1 s
j .
Введя функционал, формализующий понятие степени дости-
жения цели, приступим к формализации принятой схемы компро-
58
мисса, т. е., коль скоро невозможно достичь максимальной степе-
ни достижения цели по всем критериям сразу, зададимся целью,
чтобы наибольшей была минимальная по любому из критериев
степень достижения оптимума. Это означает, что если мы достиг-
ли максимума наихудшей степени достижения оптимума по како-
му-либо критерию, то по всем остальным критериям степень дос-
тижения цели будет не меньшей (равной или большей).
Многоцелевая модель, формализующая вышесказанное, долж-
на быть записана следующим образом:
max min s (x)
x s
j
j ³ j "
£ "
( ) min ( ), .
( ) , ,
x x s
g x b i
s
s
s
i i
Вводя новую переменную модели min s (x)
s
l = j , получим
x
l ®max
³ l "
D
-
£ "
, s.
( )
( ) , ,
s
f x f
g x b i
s s
i i
Или в окончательном виде:
x
l ®max
- D l ³ "
£ "
( ) , s.
( ) , ,
s s
i i
f x s f
g x b i
Полученная модель при линейности исходной модели явля-
ется также линейной с незначительным увеличением ее размер-
ности (на одну переменную и s дополнительных ограничений).
При решении многоцелевых задач у пользователя может поя-
виться желание отразить в модели неравнозначность (относитель-
ную важность) оптимизируемых целевых показателей. Сделать это
достаточно просто с помощью соответствующего вектора весовых
коэффициентов Î[0,1] s
a . Модель в этом варианте будет иметь сле-
дующий вид:
x
l ®max
- a D l ³ "
£ "
( ) , s.
( ) , ,
s s s
i i
f x s f
g x b i
59
Однако при использовании данного подхода значительную
сложность представляет обоснование величин s
a . Надежного, на-
учно обоснованного метода их получения нет. Вся тяжесть реше-
ния этой задачи ложится на принимающего решение. При этом,
как показывают исследования, компромисс, основанный на ис-
пользовании весов s
a , очень неустойчив: «малым» изменениям от-
дельных величин могут соответствовать очень «большие» измене-
ния в результатах решения. Практически это ставит под сомнение
целесообразность «взвешивания» целевых показателей с целью
учесть в модели их относительную важность.
В то же время использование весовых коэффициентов s
a
весьма эффективно при практической реализации настоящей мо-
дели в режиме диалога. Действительно, при анализе текущего
компромиссного плана возможна, например, ситуация перевыпол-
нения установленных заданий по одной группе показателей и не-
довыполнения – по другой. В этом случае, последовательно
уменьшая в режиме диалога весовые коэффициенты по первой
группе показателей, целесообразно продолжить поиск рациональ-
ного решения, удовлетворяющего пользователя. Правда, при этом
необходимо помнить о высокой «неустойчивости» результатов от-
носительно весовых коэффициентов.
Контрольные вопросы.
1. Поясните понятие множество Парето.
2. В чем заключается алгоритм метода уступок?
3. Приведите примеры задач, при решении, которых необхо-
димо применять несколько критериев.