3.Свойства действий (операций)

Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое «∘».

Действие называется неограниченно-применимым, если результат действия х○у определен для любой пары элементов х, уА, т.е. х○уА.

Действие называется коммутативным, если для любой пары элементов х, уА, для которых определен результат z=х○уА, обязательно определен и результат z=у○хА, и при этом z=z (т.е. х○у=у○х).

Действие называется ассоциативным, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (х○у) и ((х○у)○z), обязательно определены и результаты (у○z) и (х○(у○z)), и наоборот. Причем выполняется равенство ((х○у)○z)= (х○(у○z)).

Действие называется обратимым, если для любой пары элементов х, уА всегда существуют такие u, vА, что определены результаты (х○u) и (v○х) и выполняются равенства (х○u)=y (обратимо справа) и (v○х)=y (обратимо слева).

Действие называется сократимым справа, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (х○z) и (у○z), равенство (х○z)=(у○z) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Аналогично, действие называется сократимым слева, если для любой тройки элементов х, у, zА, для которой определены результаты (z○x) и (z○y), равенство (z○x)=(z○y) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Если действие сократимо как справа, так и слева, то оно называется сократимым.

Элемент е_пА называется нейтральным справа относительно данного действия, если для любого хА результат (x○е_п) определен и равен х. Аналогично, элемент е_лА называется нейтральным слева относительно данного действия, если для любого хА результат (е_л○x) определен и равен х. Элемент еА называется нейтральным относительно данного действия, если он является нейтральным как справа, так и слева одновременно, т.е. (е○x)=(x○е)=х для любого хА. При мультипликативной записи нейтральный элемент называется единицей и обозначается «1», при аддитивной записи – нулем и обозначается «0».

Элемент xА называется обратным к элементу хА, если определены результаты (х○х)и (х○х) и имеет место равенство (х○х)=е (обратный справа) и (х○х)=е (обратный слева), где е – нейтральный элемент. Из этого определения следует, что (х)=х. При мультипликативной записи обратный элемент обозначается «х^-1», а при аддитивной – «–х».

Элемент xА называется идемпотентным, если результат (х○x) определен и равен х.

Заметим, что относительно данного действия в множестве может существовать лишь один нейтральный элемент.

4. Простейшие алгебраические системы

Алгебраические системы определяются множеством и заданными на нем действиями, обладающими теми или иными свойствами.

Множество, с заданным на нем бинарным действием называется группоидом или оперативом. Группоид называется частичным, если действие не обладает свойством неограниченной применимости; мультипликативным, если используется мультипликативная запись действия, и аддитивным в случае аддитивной записи действия.

Множество, в котором задано неограниченно – применимое и ассоциативное действие, называется полугруппой. Таким образом, полугруппа – это группоид с ассоциативным действием. При мультипликативной записи – с ассоциативным умножением, при аддитивной – с ассоциативным сложением.

Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Множество, в котором задано неограниченно – применимое, ассоциативное и обратимое действие, называется группой. Таким образом, группа – это полугруппа с обратимым действием, т.е. для любых элементов x, yG найдутся элементы u, vG такие, что x○u=y и v○x=y. Группа (полугруппа) называется абелевой, если действие коммутативно. Для абелевых групп чаще используется аддитивная запись действия, т.е.  x, y, zG  (x+y)+z=x+(y+z), x+y=y+x и  x, yG  u, vG: x+u=y и v+x=y.

(О группе)

1. В любой группе существует единица (нейтральный элемент) и при том только одна. Для любого элемента группы существует обратный элемент и при том только один.

2. Если в полугруппе существует нейтральный элемент и для любого её элемента существует обратный, то она является группой.

Ввиду этой теоремы, можно дать эквивалентное определение группы:

Группа – это множество, в котором задано неограниченно – применимое и ассоциативное действие, существует нейтральный элемент относительно этого действия и для любого элемента имеется обратный.

Примеры алгебраических систем

1. Рассмотрим (ℕ,+). Так как сложение в множестве натуральных чисел неограниченно–применимо и ассоциативно, но нейтрального элемента по сложению не существует и ни у какого элемента нет обратного, то это полугруппа. Рассмотрим (ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+). Все перечисленные множества образуют группу по сложению, т.к. имеется нейтральный элемент – это ноль и для всякого числа х имеется обратное число, равное (-х).

2. Рассмотрим (ℕ,). Умножение во множестве натуральных чисел неограниченно–применимо и ассоциативно. Нейтральный элемент по умножению равен 1, обратный элемент имеется только у 1, поэтому это моноид.

(ℤ,) – также моноид, (ℚ,), (ℝ,) – моноиды, здесь обратные имеют все элементы, кроме нуля, поэтому ℚ\{0} и ℝ\{0} образуют группы по умножению.

3. Множество всех векторов на плоскости относительно операции сложения векторов образует группу, т.к. сложение векторов неограниченно–применимо, ассоциативно, нейтральным элементом является вектор нулевой длины, обратным элементом для каждого вектора по сложению является вектор той же длины, но противоположного направления.

4. Прямоугольные матрицы размера mn, составленные из элементов произвольной группы, по отношению к операции сложения матриц образуют группу. Действительно, для любых матриц А и В размера mn, результат сложения этих матриц также будет матрицей размера mn. Ассоциативность сложения матриц следует из ассоциативности сложения их элементов. Нейтральным элементом по сложению является нулевая матрица (составленная из одних нулей). Обратная к произвольной матрице А_mn составлена из тех же элементов, что и А_mn, но с противоположными знаками.

5. Группа преобразований – это множество всех биективных отображений произвольного множества Х на себя: F = { f: XX }, относительно операции композиции отображений.