3.Операции над множествами
О бъединением двух множеств A и B (или теоретико-множественной суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B. Таким образом, .
Объединением системы множеств называется множество .
Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).
Пересечением двух множеств A и B (или теоретико-множественным произведением) называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. Таким образом, и .
Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.
Пересечением системы множеств называется множество .
Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если . Аналогично для системы множеств: множества дизъюнктны, если любые два из них дизъюнктны.
Относительным дополнением множества B до множества A (или теоретико-множественной разностью) называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, таким образом, A \ B и . Диаграмма на рис.3.
Очевидно, что если , то . И в общем случае произвольных множеств A и B имеет место равенство .
Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом, или ℧ \ A, где ℧ –универсальное множество. Диаграмма на рис.4.
Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A B= (A \ B)(B \ A). Диаграмма на рис.5.
Примеры:
1) Пусть , . Тогда ; ; ; ; .
2) Пусть - отрезок, - полуинтервал. Тогда ; ; ; ; ; ; .
3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на плоскости. Тогда ={все прямоугольники и ромбы}; ={все квадраты}; А \ В={прямоугольники, за исключением квадратов}; В \ А={ромбы без квадратов}.
4) Пусть .
Рассмотрим систему множеств тогда ; .
5) Пусть .
Тогда ℝ2, .
4.Свойства множественных операций
1) Для любого множества A – свойство «нуля».
2) Для любого множества A A∪℧ = ℧, A∩℧ = A – свойство «единицы».
3) Для любого множества A – идемпотентность.
4) Для любых множеств А и В и – коммутативность.
5) Для любых множеств А, В и С и – ассоциативность.
6) Для любых множеств А, В и С и – дистрибутивность объединения и пересечения. Для системы множеств и .
7) Для любого множества A – закон двойного отрицания.
8) а) Для любых множеств А и В и – законы де Моргана для абсолютного дополнения.
б) Для любых множеств А, В и С и – законы де Моргана для относительного дополнения.
в) Обобщенные законы де Моргана: пусть А – фиксированное множество и . Тогда и , т.е. дополнение к объединению равно пересечению дополнений, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений.
9) Если .
Если .
Если .
10) Для любых множеств А и В и – законы поглощения.
5. Декартово (прямое) произведение множеств
Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов из А и В. Таким образом, АВ={(a,b): аA и bВ}.
Обобщение на систему множеств: пусть {A1,A2,A3,…,An} конечная система множеств, тогда A1 A2 A3 … An ={(a1,a2,…,an): ai Ai , i=1,2,…,n}. Элементы (a1,a2,…,an) называются упорядоченными «энками» или кортежами длины n. Если множества A1,A2,A3,…,An совпадают и равны A, тогда A1 A2 A3 … An обозначается An , если A=ℝ ℝℝ…ℝ⇋ℝn – называется n‑мерным Евклидовым вещественным пространством, а элементы этого пространства (a1,a2,…,an) называются n‑мерными векторами или точками.
Примеры:
1) A={a, b, c}; B={0, 1} =>AB={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)}.
2) A=[-2; 2]; B=[1; 3] => AB={(x,y): -2 x 2, 1 y 3} – прямоугольник на вещественной плоскости.
3) A – круг радиуса r, B=[a, b] – отрезок. Тогда AB – цилиндр радиуса r и высотой (b‑a).
4) A и B – окружности с несовпадающими центрами, тогда AB – поверхность тора.
Множества A и B в прямом произведении АВ называют координатными осями, а элементы xА и yВ – проекциями вектора z=(x,y)АВ на координатные оси или координатами точки z (абсциссой и ординатой соответственно). Будем обозначать их прА z и прВ z.
Пусть множество М АВ, проекцией множества М на ось А называется множество всех абсцисс векторов из М , проекцией множества М на ось В называется множество всех ординат векторов из М, т.о. прА М={ прА z: zМ}={xА: yВ и (x,y)М} и прВ М={ прВ z: zМ}={yВ: xА и (x,y)М}.
Для многомерного случая A1 A2 A3 … An , каждое множество Ai называется i-той координатной осью. Проекция вектора z=(a1, a2,…, an) на i-тую координатную ось равна его i-той координате: прi z=ai , где i=1,2,…,n. Если М A1 A2 … An , то прi М={ прi z: zМ}. Определены также проекции вектора z и множества векторов М на несколько координатных осей с номерами i1, i2,…,ik: прi1, i2…ik z = ( ai1, ai2,…, aik) – k‑мерный вектор и прi1, i2…ik М = { прi1, i2…ik z: zМ } – множество k‑мерных векторов.
Пример:
Тройки вещественных чисел (а1, а2, а3) можно рассматривать как точку в трехмерном пространстве (или вектор, проведенный в эту точку из начала координат). Тогда прi (а1, а2, а3)=ai, где i=1,2,3, прi,j (а1, а2, а3)=(ai, aj), где i,j=1,2,3. См. рис.6.