2.2. Вычисление линейного коэффициента корреляции
Пример 3. При анализе влияния на цену товара ряда факторов был включен, кроме объема партии, еще один признак - расходы на рекламу за предыдущий месяц (тыс. руб.). Поставлена задача проведения многофакторного анализа связи результативного признака у и двух факторных х1 и х2.
Данные для расчета коэффициентов корреляции rx1x2 приведены в табл. 14.
Таблица 14
Расчетная таблица
|
Фирмы |
Расходы на рекламу товара за прошлый месяц, тыс. руб., х2 |
х2у |
х2х1 |
х22 |
|
1 |
9 |
630 |
90 |
81 |
|
2 |
13 |
715 |
221 |
169 |
|
3 |
9 |
585 |
135 |
81 |
|
4 |
10 |
450 |
250 |
100 |
|
5 |
5 |
250 |
95 |
25 |
|
6 |
6 |
270 |
120 |
36 |
|
7 |
11 |
682 |
88 |
121 |
|
Итого |
63 |
3582 |
999 |
613 |
Линейный коэффициент корреляции применяется для определения тесноты прямолинейной связи между факторным и результативным признаками и исчисляется по формуле:
Следует
помнить, что при оценке существенности
коэффициента корреляции пользуются
специальной таблицей критических
значений
.
Для определения тесноты криволинейной связи применяют индекс корреляции, который определяется по формуле:
,
=9
тыс. руб.;
тыс.
руб.
Корреляция между переменными х1 и х2
Рассмотрим матрицу коэффициентов парной корреляции, приведенную в табл. 15.
Таблица 15
Матрица коэффициентов парной корреляции
|
Признаки |
у |
х1 |
х2 |
|
у |
1 |
-0,865 |
0,327 |
|
х1 |
|
1 |
-0,276 |
|
х2 |
|
|
1 |
Сравнение коэффициентов парной корреляции показывает, что связь обеих объясняющих переменных, как х1, так и х2, с результативной переменной у более тесная, чем между собой. Следовательно, объем партии и расходы на рекламу могут быть совместно включены при проведении анализа факторов, влияющих на уровень цены товара.
Вычислим
коэффициенты частной корреляции
и
:
,
Сопоставляя полученные значения коэффициентов частной корреляции с коэффициентами парной корреляции, видим, что коэффициенты частной корреляции меньше парных коэффициентов по абсолютной величине.
Измерим тесноту связи у с х1 и х2 совместно, т.е. вычислим коэффициент множественной корреляции. Сначала определим коэффициент множественной детерминации. В случае трех переменных для этой цели можно воспользоваться формулой
,
Тогда
значение коэффициента множественной
корреляции составит
.
Можно заключить, что факторные признаки влияют на 75,6% от всего объёма влияния всех возможных факторов на цену товара. Остальное влияние (24,4%) определяется неучтенными переменными.
Пример 4.Установим зависимость между факторным признаком в виде себестоимости 1т цемента и производственными мощностями десяти обследуемых заводов составим. Для вычислений составим вспомогательную расчетную табл. 16, в которой приведена также исходная информация для анализа.
Таблица 16
Зависимость между размерами производственных
мощностей и себестоимостью продукции ряда предприятий
|
№ завода |
Производит. заводов в месяц (х, тыс.т.) |
Себе-сть 1т.(у), руб. |
|
|
|
|
|
|
1 |
100 |
7,0 |
46 |
-3,6 |
-165,6 |
2116 |
12,96 |
|
2 |
96 |
7,6 |
42 |
-3,0 |
-126,0 |
1764 |
9,00 |
|
3 |
80 |
8,0 |
26 |
-2,6 |
-67,6 |
676 |
6,76 |
|
4 |
60 |
9,0 |
6 |
-1,6 |
-9,6 |
36 |
2,56 |
|
5 |
50 |
10,0 |
-4 |
-0,6 |
+2,4 |
16 |
0,36 |
|
6 |
40 |
10,8 |
-14 |
+0,2 |
-2,8 |
196 |
0,04 |
|
7 |
30 |
12,0 |
-24 |
+1,4 |
-33,6 |
576 |
1,96 |
|
8 |
20 |
14,0 |
-34 |
+3,4 |
-115,6 |
1156 |
11,56 |
|
9 |
10 |
17,0 |
-44 |
+6,4 |
-281,6 |
1936 |
40,96 |
|
Итого |
486 |
95,4 |
|
|
-800 |
8472 |
86,16 |
|
В среднем |
54 |
10,6 |
|
|
|
|
|
Определим линейный коэффициент корреляции
.
Значение линейного коэффициента корреляции равного 0,936 показывает, что между производительностью заводов и себестоимостью одной тонны цемента существует весьма тесная обратная связь, т.е. с увеличением производственной мощности заводов себестоимость 1т цемента снижается.
В нашем примере 9 пар возможных вариант. Для простой корреляции n на 2 меньше, чем число пар вариант. Значит, n = 9-2 =7. Рассчитанный нами коэффициент корреляции равен -0,936, т.е. он больше своего табличного значения (0,6664 и 0,7977) при уровне вероятности 0,95 и 0,99.
Следовательно, исчисленный нами коэффициент корреляции существенен и достаточно точно отражает тесноту связи между производственной мощностью заводов и себестоимостью 1т цемента.
Пример 5. Проведём оценку вариации приведенных признаков для установления наличия связи между ними. Рассчитаем по данным табл.17 дисперсии групповых средних нераспределенной прибыли и инвестиций в основные фонды, млн руб.
Таблица 17
Исходные и расчетные данные
|
№ предприятия |
Инвестиции в основные фонды, млн.руб., х |
|
|
1 |
0,06 |
0,0036 |
|
2 |
0,04 |
0,0016 |
|
3 |
0,44 |
0,1936 |
|
4 |
0,6 |
0,36 |
|
5 |
0,90 |
0,81 |
|
6 |
0,12 |
0,0144 |
|
7 |
0,20 |
0,04 |
|
8 |
0,36 |
0,1296 |
|
9 |
0,80 |
0,64 |
|
10 |
0,60 |
0,36 |
|
11 |
0,18 |
0,0324 |
|
12 |
0,40 |
0,16 |
|
13 |
0,53 |
0,2809 |
|
14 |
0,65 |
0,4225 |
|
15 |
0,42 |
0,1764 |
|
16 |
0,70 |
0,49 |
|
17 |
0,50 |
0,25 |
|
18 |
0,35 |
0,1225 |
|
19 |
0,20 |
0,04 |
|
20 |
0,70 |
0,49 |
|
21 |
0,40 |
0,16 |
|
22 |
0,73 |
0,5329 |
|
23 |
0,62 |
0,3844 |
|
24 |
0,70 |
0,49 |
|
25 |
0,30 |
0,09 |
|
Итого: |
11,5 |
6,68 |
Определим среднее значение факторного признака
xср = ∑(x·f)/∑f=11, 57/25=0,46.
Таблица 18
|
№ группы |
Группы предприятий по нераспределенной прибыли, млн.руб. |
Число предприятий f |
Инвестиции в среднем на одно предприятие, млн. руб, Х |
x- xср |
(x-xср)2 |
(x-xср)2f |
|
А |
Б |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
I |
2,0-2,8 |
4 |
0,10 |
-0,36 |
0,13 |
0,52 |
|
II |
2,8-3,6 |
3 |
0,23 |
-0,23 |
0,05 |
0,15 |
|
III |
3,6-4,4 |
6 |
0,40 |
-0,06 |
0,0036 |
0,02 |
|
IV |
4,4-5,2 |
8 |
0,62 |
0,16 |
0,0256 |
0,21 |
|
V |
5,2-6,0 |
4 |
0,78 |
0,32 |
0,1024 |
0,41 |
|
Итого |
25 |
2,13 |
--- |
--- |
1,31 |
|
Определим среднее значение факторного признака
xср = ∑(x*f)/∑f=11, 57/25=0,46.
Используя полученные значения и результаты промежуточных вычислений в табл.18, найдем межгрупповую дисперсию
,
1,31/25=0,05.
Для расчета общей дисперсии будем использовать табл. 18.
Общая дисперсия равна:
Коэффициент детерминации найдем по формуле:
,
следовательно,
.
Это значит, что только 1,2% выпуска продукции по предприятиям зависят от изменения вложений (инвестиций) в основные фонды.
=
0,11.
Связь между нераспределенной прибылью и инвестициями в основные фонды очень слабая.