- •2.Операции над событиями
- •3.Классическая вероятная схема
- •4. Схема выбора, приводящая к сочетаниям
- •5. Схема выбора, приводящая к размещениям
- •6. Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями
- •7.Геометрические Вероятности. Независимость событий
- •8. Условная вероятность. Независимость событий
- •13.Муавра-Лапласа
- •15. Дискретная случайная величина
- •17. Непрерывная случайна величина. Свойства плотности распределения
- •18. Математическое ожидание случайной величины.Свойства Свойства математического ожидания
- •19. Дисперсия случайной величины. Свойства
- •20. Другие характеристики рассеивания случайных величин
- •21.Биномиальное распределение. Основные характеристики
- •2.1. Математическое ожидание и дисперсия.
- •22.Пуассоновское распределение. Основные характеристики
- •23. Равномерное распределение. Основные характеристики
- •24. Показательно распределение. Основные Характеристики
- •25. Нормальное распределение. Основные характеристики
- •26. Понятие о случайных векторах . Свойства функции распределения
- •27. Коэффициент корреляции. Связь независимых и коррелированных случайных величин
8. Условная вероятность. Независимость событий
Условная вероятность. Независимые и зависимые события.
Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:
События А , В Е называются независимыми, если Р ( А В ) = Р ( А ) · Р ( В ) .
В противном случае события А и В называются зависимыми.
9.Вероятность «хотя бы одного» события
Хотя бы одно это противоположное событие тому, что ни одного. Если р вероятность того, что событие произойдёт, а n – количество событий, то Р=1-(1-р)^n.
10.Формула полной вероятности
Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
11. Формула Байеса
Формула Байеса:,
P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) — вероятность наступления события B.
12. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой .
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли
13.Муавра-Лапласа
Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:
при x=(k-np)/√npq
Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна , где x=(k-np)/√npq
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна
,(3.4)
где .
14.Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение. Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная
величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np, .