3. Показатели тесноты связи.

Теснота корреляционной связи может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением _э, когда ² (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонение групповых средних результативного признака от общей средней: .

Говоря о корреляционном отношении как о показателе измерения тесноты зависимости, следует отличать от эмпирического корреляционного отношения – теоретическое.

Теоретическое корреляционное отношение  представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выравненных значений результативного признака , т. е. рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим отношением эмпирических (фактических) значений результативного признака :

 = ,

где ² = ;  = Тогда  = .

Изменение значения  объясняется влиянием факторного признака.

В основе расчета корреляционного отношения лежит правило сложения дисперсий , где - отражает вариацию y за счет всех остальных факторов, кроме x, т. е. является остаточной дисперсией:

.

Тогда формула теоретического корреляционного отношения примет вид:

или .

Подкоренное выражение корреляционного отношения представляет собой коэффициент детерминации.

Корреляционное отношение может находиться в пределах от 0 до 1, т. е.

(0    1) Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее.

Теоретическое корреляционное отношение применяется для измерения тесноты связи при линейной и криволинейной зависимостях между результативным и факторным признаком.

Кроме того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции:

где n – число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n  20-30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

Он принимает значение в интервале : -1  r  1. Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные - на прямую. При r = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r =  1 связь – функциональная.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативными и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

, где - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии; - общая дисперсия результативного признака.

В случае оценки тесноты связи между результативным и двумя факторными признаками множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле:

,

где r – парные коэффициенты корреляции между признаками., которые могут быть рассчитаны по следующим формулам:

;

;

.

4. Непараметрические методы оценки связи.

Методы корреляционного и регрессионного анализа не универсальны: их можно применять, если все изучаемые признаки являются количественными. Между тем в статистике приходиться сталкиваться с задачами измерения связи между качественными признаками. Такие методы измерения связи называются непараметрические.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона. Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек (таблица «четырех полей») и имеет следующий вид:

Признаки	А (да)	(нет)	Итого
B (да)	a	b	а + b
(нет)	c	d	c + d
Итого	a + c	b + d	n

Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:

.

Коэффициент контингенции:

.

Если по каждому из взаимосвязанных признаков выделяется число групп более двух то для подобного таблиц теснота связи между качественными признаками может быть измерена с помощью коэффициентов взаимной сопряженности К. Пирсона и А. А. Чупрова.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона вычисляется по формуле:

, где ² – показатель средней квадратической сопряженности, который вычисляется по формуле:

, где , .

Коэффициент Чупрова:

, где К₁, К₂ – число групп по каждому из признаков.

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значение этих признаков могут быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется коэффициент корреляции рангов Спирмена:

,

где d – разность рангов признаков x и y ;

n - число наблюдаемых единиц.

В случае отсутствия связи  = 0. При прямой связи коэффициент  - положительная правильная дробь, при обратной – отрицательная.

Если объём исходной информации небольшой, то необходимо выполнить проверку существенности рангового коэффициента, т. е. сверить с таблицей предельных значений. Расчетное значение  должно быть больше предельного.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется коэффициент конкордации:

,

где m – количество факторов;

n - число наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Рассмотрим пример:

В результате обследования студентов факультета получены следующие данные:

Успеваемость	Количество студентов		Всего
	Посещающих спортивные секции	Не посещающих спортивные секции
Удовлетворительная	220	60	280
Неудовлетворительная	10	30	40
Итого	230	90	320

Определите коэффициент ассоциации и контингенции между успеваемостью и посещаемостью спортивных секций.

Коэффициент ассоциации:

Коэффициент контингенции:

.

Полученные коэффициенты подтверждают наличие существенной связи между исследуемыми признаками. Однако коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации и дает более корректную оценку тесноту связи.