Задача нахождения кратчайших цепей между всеми парами узлов в сети. Алгоритм Флойда

Рассмотрим сеть, в каждой дуге которой (U,V) поставлено в соответствие действительное число L(U,V), называемое длиной дуги. В зависимости от конкретного приложения это число может быть мерой физического расстояния, времени, стоимости или иного параметра.

Длиной цепи называется сумма длин, взятая по всем дугам этой цепи.

1

2

3

4

5

L₀= здесь пишем расстояния из i в j

S₀=здесь пишем вершины (справочная)

Алгоритм Флойда

Планируем, что вершины графа G – числа(1,2,…n). Обозначим через L₀ - матрица, элементы которой L_ij- длина дуги или бесконечность, если дуга не существует.

Введем матрицу S₀ - матрица n*n, где элементы S_ij=j.

1. Пусть матрицы L_p S_p найдены. Выделим элементы p-той строки и р-того столбца. Назовем их базовой строкой и базовым столбцом соответственно.

2. Построим матрицы L_p+1 S_p+1 по следующим правилам:

а) элементы базовой строки и столбца переписываем без изменений.

б) если элемент L_ij>L_ip+1+L_p+1j, то L_ij^p+1=L_p+i1^p+L_p+1j^p, при этом S_ij^p+1=S_ip^p. Если <=, тогда L_ij^p+1= L_ij^p и S_ij^p+1=S_ip^p.

3. Алгоритм заканчивает свою работу, когда построены матрицы L_n и S_n.Элементы L_ijⁿ равны длине кратчайшей цепи из узла i в узел i. И элементы S_ijⁿ есть узел, стоящий после узла i в этой цепи.

Замечание 1. Если i-тый элемент базового столбца равен бесконечности, то для ээтой строки шаг 2 выполнять не нужно.

Замечание 2. Если j-тый элемент равен бесконечности, то шаг 2 выполнять не нужно.

Сеть. Потоки на сетях. Задача нахождения потока максимальной мощности. Алгоритм Форда-Фалкерсона

Сеть – конечный граф без циклов и петель, ориентированный в одном общем направлении от вершины S (исток графа) к вершине T (сток графа).

Будем представлять, что по ребрам (i,j) из S в T направляется некоторое вещество (груз, информация и прочее).

Максимальное количество вещества С_ij, которое может пропустить ребро (i,j) называется его прорускной способностью. Еесли вершины не соединены, то пропускная способность =0. Поток по ребру (i,j) – количество вещества F_ij, проходящего через ребро (i,j) в единицу времени.

Если из i в j направляется поток F_ij, то величина обратного потока равна -F_ij.

Если С=1, то дуга называется насыщенной.

b

S

t

a

Свойства потоков по ребрам:

1. Поток по каждому ребру не превышает его пропускной способности.

2. Количество вещества, притекающего в вершину равно количеству вещества, вытекающего из нее.

Общее количество вещества, исходящего из истока S совпадает с общим количеством вещества, поступающего в сток T.

Пусть Х некоторое подмножество вершин удовлетворяющих условию S принадл Х, Т не принадл Х. Пара (Х, Х*), где Х* = v/X – разрез, отделяющий S под Т.

Пропускной способностью разреза С(Х,Х*) называется сумма пропускных способностей дуг, составляющих этот разрез.

Дуги, которые идут от S к T(прямые) составляют разрез. Дуги от T к S(обратные) в разрез не входят.

Х=(S,a)

X*=(t,b)

C(X,X*)=С(S,B)+C(A,B)+C(A,T)

Постановка задачи

Задана сеть с фиксированными пропускными способностями дуг. Найти среди всех потоков поток максимальной мощности.

Теорема Форда-Фалкерсона

Мощность максимального потока, пропущенного в сети, равна минимальной пропускной способности разреза.

d

Шаг 0. В процессе работы алгоритма каждая вершина относиться к одному из 3-х множеств: не помеченные вершины, помеченные не просмотренные, просмотренные (окрашенные).

Шаг 1. Пометим вершину S меткой (S⁺; бесконечность), остальные не помечены.

Шаг 2. Пусть V некоторая помеченная, но не просмотренная вершина. Рассмотрим все соседние с ней не помеченные вершины. Для каждой из таких вершин U возможны следующие ситуации:

а) существует прямая дуга (V,U), f(V,U)<c(V,U), тогда U вершина получает пометку U(V⁺;С(V,U)-f(V,U))

б) существует обратная дуга (U,V), f(u,v) > 0. Тогда U получает пометку U(V^-;f(u,v))

в) существует прямая дуга (V,U) или существует обратная и поток равен 0, тогда вершина U не помечается.

Когда все соседние с V вершины проанализированы, V переходит в множество просмотренных вершин.

Шаг 3. Повторяем шаг 2 до тех пор пока не возникнет одна из следующих ситуаций:

а) все вершины графа разбиты на 2 подмножества(просмотренные и непомеченные(включая Т). Тогда в сети построен макс поток мощности V и мин разрез Х,Х*,

б) если вершина Т получила пометку, то в сети существует увеличивающий путь из S вT, который можно определить идя из Т обратно к S. Для найденного пути определяют величину е(эпсилон) увеличения мощности потока. На прямых дугах пути ST изменяем F на +е на обратных на –е. Мощность равна V предыдущая +е.