16.Экстримум функции. Необходимое условие экстримума. Достаточное условия экстримума.

Экстримум функции

Точка х0 называется точкаой мах функции f(x),если в некоторой окресности точка х0 выполняется неравенство f(x)≤f(x0)

Точка х, называется точной мин функции f(x),если в некоторой окрестности точки х,выполняется неравенство f(x)≥f(x1)

Необходимое условие экстримума.

Для того чтобы функция у=f(x) имела экстримум в точке х0,необходимо ,чтобы ее производная в этой точке равнялось 0 (f`(x0)=0 или не существует.

Достаточное условия экстримума.

1.Первое достаточное условие экстримума.Если при переходе через точку х0,производная меняет свой знак с + на -,то точка х0,точка мах

2.Второе достаточное условие экстримума .Если первая производная f`(x) дважды дифференцируемой функции =0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f``(x0)положительна ,то х0 точка мин функции f`(x) ,если f``(x0) отрицательна то х0 точка мах .

17.Формулы Тейлора и Маклорена.

18.Выпуклость графика функции .Исследование выпуклости с помощью второй производной. Точки перегиба .

Выпуклость графика функции.

-Функция у=f(x)наз. выпуклой вниз на промежутке Х,если для любых двух значения х х1,х2принадлеж.х ,из этого промежутка выполняется неравенство: f(x1+x2:2)≤f(x1)+(x2)):2

-Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х,если для любых х1,х2 принадл. Х из этого промежутка выполняется неравенство :f(x1+x2:2)≥(f(x1)+f(x2)):2

Исследование выпуклости с помощью второй производной.Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительной (отрицательной)внутри некоторого промежутка Х, то функция выполнена возвр.(убыв.)на этом промежутке .

Точки перегиба

Точкой перегиба графика неприрывной функции называется точка разделяющяя интервалы в которых функция выпукла вверх и вниз .

Необходимое условие перегиба(теорема)Вторая производная f``(х)дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0=0,т.е.f``(x)=0

Достаточное условие перегиба (теорема)Если вторая производная f``(х) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет знак,то х0 есть точка перегиба ее графика.

19.Асимптоты.Общяя схема исследования функций.

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая,обладающяя теми свойствами,что расстояние от точки (х,f(x))до этой прямой стримится к 0,при неограниченному удалении точки графика от начала координат.

Бывают:

-вертикальная

-горизонтальная

-наклонная

Общяя схема исследования функций.

1.найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность-нечетность.

3.Найти вертикальные асимптоты.

4.Исследовать поведение функции в бесконечности ,найти горизонтальные или наклонные асимптоты .

5.Найти экстримумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.Найти точки пересечения графика с осями координат ,и возможно, некоторые дополнительные точки ,уточняющие график.

20.Эластичность функции, анализ спроса и предложения.

….

21.Простешие оптимизационные задачи в области технологии продукции и организации общественного питания.

….

22.Решение задач о хранения вина.

…

23.Понятие функции нескольких переменных ,предел и неприрывность ,частные производные и дифференциал.

Понятие функции нескольких переменных:

Пусть имеется и переменных величин ,и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z.

Число А называется пределом функции z=f(x;y) при х->x0 и y->y0,если для любого даже сколько угодно малого положительного числа ε>0 найдется положительное число лямда>0,такое ,что для всех точек (х;у),относящихся от точки (х0,у0) на расстояние p,меньше чем лямда в первой степени ,выполняется неравенство:|f(x,у)-А|<ε

Функция z=f(x;y) называется неприрывной в точке (х0,у0),если она:

1)определена в точке (х0,у0).

2)имеет конечный предел при х->x0 и у->у0.

3)этот предел равен значению функции в точке (х0,у0).

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует)

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этоц функции на приращения соответствующих независимых переменных.