- •1. Определение матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
- •2. Линейные и нелинейные операции над матрицами
- •Умножение матриц. Свойства произведения матриц
- •3. Перестановка чисел, число инверсий, определитель
- •4.Минор к-порядка минор элемента матрицы, ранг
- •Метод окаймляющих миноров:
- •Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.
- •Критерий существования обратной матрицы
- •Фундаментальной системой решений (фср), системы однородных линейных уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
- •Определение проекции вектора на ось:
- •Направляющие косинусы в декартовой системе координат
- •Линейная зависимость и независимость свободных векторов:
- •Критерий линейно зависимости свободных векторов
- •Определение базиса:
- •Теорема о базисе
- •Скалярное произведение векторов
- •Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
- •Параметрическое уравнение.
- •Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
- •Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
- •Каноническое уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
- •Эллипс, свойства эллипса
- •Метод параллельных сечений исследования формы поверхности.
Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства
Векторы ,,, линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.
1) Необходимость. Пусть векторы , , , – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что . Пусть, например, . Тогда
, ⇒ .
2) Достаточность. Пусть один из векторов , , , линейно выражается через оставшиеся. Например, пусть
, ⇒ .
Следовательно, векторы , , , – линейно зависимы.
Понятия базиса и размерности линейного пространства
Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.
Если в линейном пространстве существует базис из векторов, то пространство называют конечномерным, а называют размерностью линейного пространства (пишут: ).
Если в линейном пространстве для любого натурального можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: ).
ТЕОРЕМА. (Связь между координатами вектора в разных базисах).
Пусть , , , и , , , – два базиса линейного пространства . Причем имеют место равенства:
Если вектор имеет в базисе , , , координаты , в базисе , , , – координаты , то справедливо равенство
,
где , , .
Матрицу называют матрицей перехода от базиса ,,, к базису ,,, .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию .
Расписывая векторы ,,, по базису ,,,, получим:
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(1)
Так как по условию , то из (1) получаем:
или в матричном виде .
Понятие линейного оператора
Пусть и – линейные пространства над (где = ℝ или = ℂ).Пусть каждому вектору ставится в соответствие однозначно определенный вектор , т.е. задана функция с областью определения и областью значения . Такую функцию принято называть оператором (преобразованием), действующим из в . Вектор называется образом вектора и обозначают , а называется прообразом вектора . Оператор, действующий из в , называют оператором пространства .
Оператор называется линейным, если для любых и любого выполнены следующие условия:
1) , 2)
Матрица линейного оператора
Так как – оператор пространства , т.е. векторы , то их можно разложить по базису :
Составим матрицу из коэффициентов разложения векторов по базису :
.
Эту матрицу называют матрицей линейного оператора в базисе (относительно базиса ).
Уравнение прямой на плоскости
– произвольная точка. и – радиус-векторы точек и . Рассмотрим векторы и . => , (23)
или, .
Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты других точек плоскости. Данное уравнение называют уравнениями прямой, проходящей через точку Выполним преобразования
.
получим общее уравнение прямой на плоскости:
Вектор перпендикулярен данной прямой.
Параметрическое уравнение.
Дана и . Составим уравнение прямой, проходящей через М0 параллельно вектору l.
Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.
– текущая точка прямой, и – радиус-векторы точек и . Рассмотрим и . По условию задачи они параллельны. Следовательно, существует такое число , что ,⇒ , (27)
или
Данной системе удовлетворяют координаты любой точки прямой при некотором значении и не будут удовлетворять координаты других точек плоскости. - параметр.
Полученную систему уравнений называют параметрическим уравнением прямой.
Каноническое уравнение прямой
Из параметрического уравнения прямой
и , ,
– координаты некоторой точки на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.
Данное уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Даны две точки и . Тогда является ее направляющим и каноническое уравнение этой прямой будет иметь вид.Данное уравнение наз. уравнением прямой проход. ч/з 2 точки. из канонич. получ. параметрич.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
М Если на плоскости даны две прямые, то они либо параллельны, либо пересекаются. Если прямые параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарные, а углы наклона к оси ( и ) – равные.
Пусть прямые и заданы общими уравнениями и . Тогда и . Так как коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то прямые и параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е. .
Пусть прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом и соответственно. Так как и , то прямые и параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты пропорциональны, т.е. .
При пересечение прямых на плоскости образуется две пары вертикальных углов.
Один из углов (), образуемых прямыми и , равен углу между их нормальными векторами и . Следовательно, если прямые и заданы общими уравнениями и соответственно, то , и
Второй угол и, следовательно,
.
,
или ,
+ если угол острый, - если угол тупой.
Если и перпендикулярны, то и . Из формулы получаем – критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.
Прямые с угловым коэффициентом
прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом и . Острый угол между прямыми будет равен
. ,⇒ .
Так как тупой угол между прямыми , то
. ,
+ для острого угла, - для тупого.
если , то и не существует. Но это означает, что знаменатель дроби в обращается в ноль, т.е. ,⇒ – критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты и .
Уравнение плоскости
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .
– текущая точка плоскости, и – радиус-векторы точек и соответственно. . =>,или,. (37)
Данное уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
преобразуем данное уравнение.
= и получим общее уравнение плоскости
Если в уравнении все коэффициенты ,, и отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.