4. Предел функции.

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , т.е. на некотором интервале , где , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех , для которых , имеет место неравенство

.

Тот факт, что есть предел в точке , записывают следующим образом

Другое определение предела функции.

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и если предел последовательности существует и равен , какова бы ни была последовательность , сходящаяся к и такая, что для всех . Таким образом

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к , или, короче, предел функции при .

По аналогии вводят следующее определение.

Число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, если определена для всех , удовлетворяющих неравенству при некотором , и для любого можно найти число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству .

Многие свойства пределов при , где - конечное число, и при являются аналогичными. Для этого под буквой либо число (конечное), либо символ . Если есть число, то под окрестностью точки понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки есть множество всех точек , удовлетворяющих неравенствам . Если же (или или ), то под окрестностью условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству

Произвольную окрестность точки обозначают символом .

Свойства пределов функции.

1. Если

и на некоторой окрестности , , , то .

2. Если

и на некоторой окрестности , , , то .

3. Пусть , где и - конечные числа. Тогда

5. Признаки существования пределов

Теорема 1. Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности функция ограничена, т.е. существует положительное число такое, что

Доказательство. Из условия теоремы следует существования окрестности такой, что

Отсюда для указанных

где надо считать . Теорема доказана.

Теорема 2. Если и - конечное число, то существует окрестность такая, что

Более того, для указанных , если , , если .

Доказательство. Из условия теоремы следует существование для окрестности такой, что

откуда для указанных . Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

При отсюда следует

а при следует

ч.т.д.

Теорема 3. (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого существовала такая окрестность , что, каковы бы не были точки