7) Квадратные уравнения и способы их решения

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй

Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).

Обозначим f (x) = ax2 + bx + c и зададимся целью решить уравнение

f (x) = ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

D = b² – 4ac

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

1. Если D < 0, то действительных корней нет.

2. Если D = 0, то корни совпадают и равны

3. Если D > 0, то, извлекая корень, получим

Это и есть формула для решения квадратного уравнения

8) Квадратные неравенства и способы их решения

Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств:

ax²+bx+c>0,

ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≥0,

ax²+bx+c≤0,

где a,b,c - некоторые действительные числа и a/=0.

Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства

x2<m и x2>m

Множество решений неравенства x2<m:

1) при m≤0 x=∅ (т. е. нет решений);

2)при m>0 x=(−√m;√m), т.е. −√m<x<√m,

Множество решений неравенства x2>m:

1) при m<0 x=R (т.е. x - любое действительное число);

2) при m>0 x=(−∞;−√m)⋃(√m;+∞), т.е. −∞<x<−√m и √m<x<+∞,

Квадратное неравенство ax²+bx+c>0 в зависимости от значений своих коэффициентов a,b,c имеет множества решений:

1) при a>0, D=b2−4ac≥0

X=(−∞;2a−b−√D)⋃(2a−b+√D;+∞);

2) при a>0, D<0 x=R;

3) при a<0, D≥0

X=(2a−b−√D;2a−b+√D)

4) при a<0, D<0x=∅ (т. е. нет решений);

Решение неравенства ax²+bx+c<0 сводится к решению рассмотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить на −1.

Множество решений нестрогих неравенств ax²+bx+c≥0 и ax²+bx+c≤0 находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнения ^ax2+bx+c=0.

9) Нелинейные неравенства с одной переменной и способы их решения

10) Иррациональные уравнения и способы их решения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями. Например

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

11) Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решения

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.

1.Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:

x = ( c – by ) / a . (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x :

d ( c – by ) / a + ey = f .

3) Решая последнее уравнение, находим y :

y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :

x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .

П р и м е р . Решить систему уравнений:

Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :

x = ( 2y + 4 ) / 3 .

Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :

( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .

Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .

2. Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).