- •Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества
- •Опыты дэвиссона и джермера
- •Опыт томсона
- •Статистическая интерпретация волн де бройля
- •Волновая функция
- •2. Соотношение неопределышостей
- •4. Волновая функция
- •5. Уравнение шредингера
- •6. Частщл в одномерной прямолхжной "потенцимшой яме" 0 бесконечно высокими "стенками
- •7. Тунельный эффект
6. Частщл в одномерной прямолхжной "потенцимшой яме" 0 бесконечно высокими "стенками
"Потенциальной ямой" называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы U меньше некоторого значения Uo. Если потенциальная энергия частицы вне и внутри "потенциальной ямы" имеет следующие значения (рис. I)
(12) то говорят, что частица находится в одномерной "потенциальной яме" бесконечно?!! глубины.
Для одномерного движения частица внутри "потенциальной ямы", где U = 0, стационарное уравнение Шредингера (II) имеет вид:
Общее решение этого уравнения есть
, (13)
где а и в - постоянные,
(14)
Вероятность найти частицу вне "потенциальной ямы" равна нулю. Это означает, что вне области (вне "ямы") .Чтобы волновая функция была непрерывна, на границах "ямы" (при х = 0 и х = l) она должна обращаться в нуль, т.е. должны выполняться условия.
(15)
Равенства (15) называются граничными условиями.
Из первого граничного условия ,(15) для волновой функции (13) следует, что . Тогда
(16)
Второе граничное условие выполняется только при
(17)
Подставляя выражение (14) в условие (17), получаем
, n = 1, 2 … (18)
Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в бесконечно глубокой "потенциальной яме", удовлетворяется только при собственных значениях. Еn, зависящих от целого числа n. Следовательно, в этом случае энергия En частицы не может быть произвольной, а принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n , определяющее Еn,. называется квантовым числом. Итак, микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками"; может иметь только дискретный ряд значений энергии Еn, или, как говорят, может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn.
Постоянную a- в выражений (16) определим из условия нормировки (8), которое для данного случая с учетом (17) запишется в виде
В результате интегрирования получим .Таким образом, собственные функции будут иметь вид:
, n = 1, 2, 3 … (13)
Графики собственных функций (19), соответствующие уровням энергии (18) при n =1, 2 и 3, приведены на рис. 2а. На рис. 26 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от "стенок ямы", равная для n = I, 2 и 3 Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с (1 = 2 частица не может находиться в середине "ямы", в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представление о траекториях частицы в квантовой, механике не состоятельно.
Из формулы. (18) следует, что микрочастица в "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" не может иметь энергию
Рис. 2
остальные уровни
меньшую, чем минимальная энергия частица никогда не может опуститься на "дно ямы*. Этот результат следует из соотношения неопределенностей (4). Неопределенность координаты х частицы в "яме" шириной lравна . Тогда, согласно соотношению неопределенностей (4), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое значение. Неопределенность импульса . Такому разбросу значений импульса соответствует
кинетическая энергия
( n > I) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.
Из выражения (18) вытекает также, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен
(21)
При больших квантовых числах (n >>1) , т.е.
соседние уровни расположены близко друг к другу: тем ближе, чем больше П . Если Я очень велико,, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов - дискретность - сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.