- •§1. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формулировка правила Лопиталя.
- •Раскрытие неопределенностей или .
- •§2. Возрастание и убывание функции.
- •§3. Экстремумы функции.
- •§4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •§5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- •§6. Асимптоты плоской кривой.
- •§7. Полное исследование функции и построение графика.
§2. Возрастание и убывание функции.
Функция называется монотонно возрастающей в интервале х(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 х1 следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающей на интервале х(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 х1 следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:
если на интервале х(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:
если , то монотонно возрастает;
если , то монотонно убывает.
Пример 1.
Определить интервалы возрастания и убывания функции
Решение.
Область определения данной функции: х(0;+).
Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: 0.
Так как где 0, то решаем систему неравенств:
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).
Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: 0, то есть, решая систему неравенств:
.
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “”).
Ответ: функция при , при .
Пример 2.
Определить интервалы монотонности функции
Решение.
Область определения функции: х(;+).
Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .
Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х 0.
Далее очевидно, что для любого х1 0 будет , а для любого х2 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.
Ответ: при х(;+) функция монотонно возрастает.
Пример 3.
Исследовать на возрастание и убывание функцию
Решение.
Здесь х;+.
Решив уравнение х4 – х2 = 0, найдем точки х1 = , х2 = 0, х3 = 1, в которых производная .
Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–;–1), (–1;0), (0;1), (1;+) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:
О твет: функция возрастает в интервалах (–;–1) и (1;+), убывает в интервале х(–1;1).
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интервалы монотонности следующих функций:
1. ; |
4. |
2. |
5. ; |
3. ; |
6. |
Ответы.
1. При (–1;1) и (1;+) возрастает.
2. При – возрастает; при и (1;+) – убывает.
3. При (0;2) – возрастает; при и (2;+) – убывает.
4. При – возрастает; при – убывает.
5. При [0;+) – возрастает.
6. При – возрастает; и – убывает, где = 0, 1, 2,