3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.

Функция – Отображение – это правило, которое к каждому элементу из А ставит в соответствие единственный элемент из В.

Точное определение функции – в прямом произведении A В рассматривается подмножество Г, такое, что

единственная пара

Тогда Г и определяет функцию из А в В, для которой Г является графиком.

ТЕРМИНОЛОГИЯ

B f- функция из А в В

А = – область определения f

– переводит элемент а в элемент в

F(A)- множество значений отображений f:AB

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть

Тогда

1). f – инъективно f- разные элементы переводит в разные

2). f – сюръективно если в каждый элемент из В переходит некоторый элемент из A

3). f – биективно если оно сюръективнаои инъективно

Функция  является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

• f(g(y)) = y для всех 

• g(f(x)) = x для всех 

4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.

СЛОЖЕНИЕ(С) x,y,z

С1 Ассоциативность (x+y)+z = x+(y+z)

C2 Существование нейтрального элемента х + 0 = 0 + х = х

С3 Существование обратного элемента х + у = 0 (у = -х)

С4 Коммутативность х + у = у + х

ЗАМ : С1 – С3 множество R с операцией «+» является группой, если ещё с4, то группа называется Абелевой, или коммутативной

УМНОЖЕНИЕ(У) x,y,z

У1 Ассоциативность (x*y)*z = x*(yz)

У2 Существование нейтрального элемента х*1 = 1* х = х

У3 Существование обратного элемента х*у = 1 (у = 1/х)

У4 Коммутативность х*у = у*х x,y,z

ЗАМ : У1 – У4 Абелева группа умножения

(С + У) Дистрибутивность x,y,z

X*(y+z)=x*y+x*z

АКСИОМА ПОЛНОТЫ (П) x,y,z

П1 рефлективность ХХ

П2 транзитивность

П3 Антисимметричность

П4 Сравнимость всех элементов

ЗАМ : П1 – П3 – частичный порядок

П1 – П4 – порядок

(С + П) (связь «+» и «»)

(У + П) (связь «*» и «»)

Эти 15 аксиом = R упорядоченное поле

АКСИОМА ПОЛНОТЫ

Полнота R : для любых непустых множеств, таких, что все элементы одного не превышают элементы другого, существует число, разделяющие эти множества.

5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.

1’. 1 – натуральное число

2’. n (n – натуральное число) (n +1) – натуральное число

3’. Любое натуральное число можно плоучить из 1’. или 2’.

МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ N = {1, 2, 3, 4, …}

ТЕОРЕМА : Множество N не ограничено сверху

ДОК-ВО: «От противного» предположим что это множество гораничено сверху. Тогда существует единственная точная верхняя граница множества =: C

С – 1 – верхняя граньN C – не верхняя грань. ПРОТИВОРЕЧИЕ.

ААКСИОМА АРХИМЕДА

Если имеется две величины a и b, то взяв a слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти b:

ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

-База y(n=1) – верно

-Шаг индукции y(n=k+1)

6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип точной верхней грани.

Множество АR, такое, что при этом такое число С называют верхней границей для А

Наименьшей из верхних границ множества А называется точной верхней границей, или верхней гранью. (sup A – «Супренум А»)

ТЕОРЕМА (ПРИНЦИП ВЕРХНЕЙ ГРАНИ)

Непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань. Верхняя грань единственна.

ЗАМ : верхняя грань – наименьшая верхняя граница.

ДОК-ВО: Пусть А – непустое, ограниченное сверху множество

В:= множество верхних границ для А

А не пусто по условию

В не пусто, т.к. А ограничено сверху

по аксиоме полноты , что

Покажем что С = sup A

Тогда С меньшая верхняя граница

_Пусть С и С’верхние грани для А, т.е. , тогда