35. Чим відрізняється транспортна задача від загальної задачі лінійного програмування?

Транспортна задача є звичайною задачею лінійного програмування і може бути розв’язана симплексним методом, однак особливості побудови математичної моделі транспортної задачі дають змогу розв’язати її простіше. Легко помітити, що всі коефіцієнти при змінних у рівняннях, дорівнюють одиниці, а сама система обмежень задана в канонічній формі. Крім того, система обмежень складається з mn невідомих та m + n рівнянь, які пов’язані між собою співвідношенням .Якщо додати відповідно праві та ліві частини систем рівнянь ;

, то отримаємо два однакових рівняння:

;

.

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному випадку система обмежень буде містити m + n – 1 лінійно незалежне рівняння, отже, їх можна розв’язати відносно m + n – 1 базисних змінних. Назвемо опорним планом транспортної задачі такий допустимий її план, що містить не більш ніж m + n – 1 додатних компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша ніж m + n – 1, то маємо вироджений опорний план. В задачах же лінійного програмування необхідне дотримання наст. вимог: Допустимий план Х = (х1, х2, …, хn) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи у вигляді рівностей, а також обмеження щодо невід’ємності змінних.Опорний план Х = (х1, х2, …, хn), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

36. Які взаємоспряжені задачі називаються симетричними, а які – несиметричними7 Чим вони відрізняються?

Пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні. У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень. У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, а двоїстої — лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.

37. Опишіть алгоритм методу гілок та меж.

• Симплексним методом розв’язують задачу (без вимог цілочисловості змінних).

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей розв’язок є оптимальним планом задачі цілочислового програмування.

Якщо задача з послабленною умовою не має розв’язку (цільова функція необмежена, або система обмежень несумісна), то і вся наша задача з вимогою цілочисельності також не має розв’язку.

• Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирають одну з нецілочислових змінних і визначають її цілу частину .

• Записують два обмеження, що відтинають нецілочислові розв’язки:

,

.

• Кожну з одержаних нерівностей приєднують до обмежень початкової задачі. В результаті отримують дві нові цілочислові задачі лінійного програмування.

• У будь-якій послідовності розв’язують обидві задачі. У разі, коли отримано цілочисловий розв’язок хоча б однієї із задач, значення цільової функції цієї задачі зіставляють з початковим значенням. Якщо різниця не більша від заданого числа e, то процес розв’язування може бути закінчено. У разі, коли цілочисловий розв’язок одержано в обох задачах, то з розв’язком початкової зіставляється той, який дає краще значення цільової функції. Якщо ж в обох задачах одержано нецілочислові розв’язки, то для дальшого гілкування вибирають ту задачу, для якої здобуто краще значення цільової функції і здійснюють перехід до кроку 2.