- •Вопрос № 1 Понятие матрицы. Виды матриц
- •Вопрос № 2 Сложение матриц. Умножение матрицы на число
- •Вопрос № 3 Произведение матриц
- •Вопрос № 5 Определители матриц. Свойства определителей
- •Вопрос № 18
- •Вопрос № 12-(33) Замечательные пределы.
- •Вопрос № 14-(34) Односторонние и двусторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификации
- •Вопрос № 9
- •Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно большая величина. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа 0/0, бесконечность/ бесконечность
- •Вопрос № 7
- •Вопрос № 10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Вопрос № 8 Матрица, обратной данной и ее вычисление
- •Вопрос № 20-(40) Производные высших порядков Механистический смысл 2ой производной
- •Вопрос № 19-(39) Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Вопрос № 22-(42) Теорема Роля, Коши, Лангранжа о дифференцируемых функциях
- •Билет № 17-(37) Правило дифференцирования. Таблица производных
- •Вопрос № 16-(36)
- •Вопрос № 15-(35)
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Вопрос № 10-(43)
- •Вопрос № 8-(44) Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции
- •Вопрос № 7-(43)
- •Вопрос № 6-(46) Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков
- •Вопрос № 20 Параллельный перенос и поворот осей координат
- •Вопрос № 21 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос № 23 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Вопрос № 1-(24) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •Вопрос № 11 Методом Крамера
- •Вопрос № 13 Понятие вектора. Операции над векторами в геометрической форме
- •Вопрос № 14 Проекции вектора на ось и ее свойства
- •Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.
- •Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах
- •Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Уравнение параболы и исследование ее формы
- •Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
- •Вопрос № 4-(25)
Вопрос № 8-(44) Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(xо) = 0, либо f ¢(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Вопрос № 7-(43)
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба
свойство графика функции у = f (x) (кривой), заключающееся в том, что каждая дуга кривой лежит не выше (не ниже) своей хорды; в первом случае график функции f (x) обращён выпуклостью книзу (вогнутостью кверху) и сама функция называется выпуклой (рис. 1, а), во втором — график обращён вогнутостью книзу (выпуклостью кверху) и функция называется вогнутой (рис. 1, б). Если существуют производные f '(x) и f "(х), то первый случай имеет место при условии, что f "(x) ≥ 0, а второй при f "(x) ≤ 0 (во всех точках рассматриваемого промежутка). Выпуклость (книзу) можно охарактеризовать также тем, что дуга кривой лежит не ниже касательной, в окрестности любой своей точки (рис. 2, a), а вогнутость (книзу) — тем, что дуга кривой лежит не выше касательной (рис. 2, б). Аналогично определяются В. и в. поверхности.
Рис. 1 к ст. Выпуклость и вогнутость.
Рис. 2 к ст. Выпуклость и вогнутость.
. Точка, в которой направление выпуклости графика функции меняется на противоположное называется точкой перегиба.
Вопрос № 6-(46) Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .
Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия: 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :
|
(7.1) |
Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если 1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :
Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если
или
соответственно.