- •Оглавление
- •1 Понятие вариации. Абсолютные и относительные показатели вариации
- •2 Размах вариации. Среднее линейное отклонение
- •3 Дисперсия. Виды дисперсий
- •4 Среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Коэффициент вариации
- •5 Структурные показатели вариационного ряда: мода, медиана, квартили, децили
- •6 Показатели дифференциации
- •Список использованной литературы
2 Размах вариации. Среднее линейное отклонение
Абсолютные и средние величины не могут дать всесторонней характеристики изучаемой совокупности, не позволяют судить о структуре совокупности, о внутреннем ее строении. Более полное представление об изучаемой совокупности может быть получено путем исследования различий между единицами совокупности с помощью измерения колеблемости изучаемого признака.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Хmax - Xmin). Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Зависимость от крайних значений признака придает размаху вариации неустойчивый, случайный характер.
Размах вариации не связан с частотами в вариационном ряду. т. е. с характером распределения. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних. Область применения этого показа-геля ограничена достаточно однородными совокупностями.
Для характеристики вариации признака нужно знать не только амплитуду (размах) его значений, но и уметь обобщить отклонения всех этих значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. В качестве такой величины используют среднюю арифметическую. Такие показатели вариации, пак среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака Отдельных единиц совокупности от средней арифметической.[1]
Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (2):
(2)
где d - среднее линейное отклонение;
|| - абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической;
f – частота.
Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами. Необходимость использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам средней арифметической. Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.[2]
3 Дисперсия. Виды дисперсий
Дисперсия () - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины (3):
(3)
Для не сгруппированных данных (4):
(4)
Для сгруппированных данных(5):
(5)
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не изменяет величину дисперсии (6):
(6)
3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз (7):
(7)
4. Средний квадрат отклонений, исчисленный от среднего арифметического, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, исчисляемого от любой другой величины: > . Величина различия между ними вполне определенная, это квадрат разности между средней и этой условной величиной А (8, 9, 10):
(8)
(9)
(10)
Дисперсия альтернативного признака, т. е. признака, имеющего два противоположных значения. В таких случаях наличие признака обозначается единицей, а его отсутствие - нулем. Доля единиц, обладающих признаком, обозначается через р, доля остальных единиц - q= 1 - р. Средняя величина альтернативного признака(11):
(11)
Дисперсия альтернативного признака (12):
(12)
Cреднее квадратическое отклонение альтернативного признака (13):
(13)
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности, возникающую под влиянием всех факторов. Исчисляется по формуле (14):
(14)
Групповые средние и дисперсии обозначим соответственно х. и о'. Внутригрупповые дисперсии показывают величину вариации, вызванную всеми признаками, кроме признака, положенного в основу группировки.
Межгрупповая дисперсия является мерой вариации признака между группами и характеризует колеблемость групповых средних (Т) около общей средней (Т) (среднее квадратическое отклонение групповых средних от общей средней) (15):
(15)